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第一讲 函数、极限与连续
一、考试要求
1. 理解函数的概念,掌握函数的表示方法,会建立应用问题的函数关系。
2 .了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3. 理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
4 . 掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。
5. 理解(了解)极限的概念,理解(了解)函数左、右极限的概念以及函数
极限存 在与左、右极限之间的关系。
6 . 掌握(了解)极限的性质,掌握四则运算法则。
7. 掌握(了解)极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握(会)利
用两个重要极 限求极限的方法。
8. 理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无
穷小量求极限。
9. 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型
10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质
(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。
11. 掌握(会)用洛必达法则求未定式极限的方法。
二、内容提要
1、函数
(1)函数的概念 : y=f(x) ,重点:要求会建立函数关系 .
(2 )复合函数 : y=f(u), u= ( x) y f [ ( x)] ,重点:确定复合关系并会求
复合函数的定义域 .
(3 )分段函数 : 注意, f (x ) , max{ f (x), g(x )}, min{ f (x ), g(x)} 为分段函数 .
(4 )初等函数:通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的
函数。
(5 )函数的特性:单调性、有界性、奇偶性和周期性
* 注: 1、可导奇 (偶 )函数的 导函数为偶(奇) 函数。
特 别 :若f ( x ) 为偶函数且 f (0) 存在,则 f (0) 0
x
2、若f ( x ) 为偶函数,则 f (t )dt 为奇函数;
0
x
若 f (x ) 为奇函数,则 f (t )dt 为偶函数;
a
3、可导周期函数的 导函数为周期函数。
特别 :设 f ( x ) 以T 为周期且 f (x 0 ) 存在,则 f (x 0 T ) f ( x0 ) 。
T x
4 、若f(x+T)=f(x), 且 f (t )dt 0 ,则 f (t )dt 仍为 以 T 为周期的周期函数 .
0 0
5、设 f ( x ) 是以 T 为周期的 连续 函数,则
1
a T T T / 2 nT T
f (x )dx f (x )dx f ( x )dx , f (x )dx n f ( x )dx
a 0 T / 2 0 0
a
6、若 f (x ) 为奇函数,则 f (x )dx 0 ;
a
a a
若 f ( x ) 为偶函数,则 f (x )dx 2 f ( x )dx
a 0
7、设
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