(5)广义积分敛散性的判别法-.pptVIP

广义积分敛散性的判别法 判定一个广义积分的收敛性,是一个重要的问 题. 当被积函数的原函数求不出来,或者求原函 数的计算过于复杂时,利用广义积分的定义来 判断它的收敛性就不适用了. 因此,我们需要其 它方法来判断广义积分的收敛性. （一）。无穷限广义积分的审敛法 无穷限广义积分的审敛法与正项无穷级数审敛法很类似，先复习一下正项级数审敛法以便与无穷限广义积分的审敛法作比较 上连续，， 1）如果： 且 收敛，则 收敛；2）如果： 且 ，发散 发散；则 广义积分比较审敛原理：设 在区间 1.正项级数比较审敛原理(收敛，发散，值) 注：1）.可将广义积分比较原理与级数相应比 较法对比，其是类似的； 2）.可通俗的说：大积分收敛，则小积分收敛； 反之，小积分发散，则大积分发散。 2.P级数（积分）及其敛散性： Cor1（选p级数作比较对象） 设 在区间 上连续，且 如果存在常数M>0,及p>1,使得： 则 ； Cor1.令 收敛； 2）如果存在常数N>0,使得 则 发散； Cor2（与p级数比较的极限形式） Cor2（极限形式）设 在区间 上连续，且 则1）当 存在时 收敛； 2）当 存在或为无穷大时， 发散； Def：绝对收敛：如果积分 收敛，则称积分 定理：绝对收敛积分必收敛 绝对收敛 3.级数绝对收敛及其性质 （ 二）。例题选讲 无穷限广义积分的审敛法 例1 判别广义积分 的敛散性. 解 因为 这里 故由推论1知，题设广义积分收敛. 例2 判别广义积分 的敛散性. 解 因为 这里 故由推论2知，题设广义积分收敛. 例3 判别广义积分 的敛散性. 解 因为 故根据推论2知，题设广义积分发散. 例4 判别广义积分 的敛散性. 解 因为当 时， 故由推论1知，题设广义积分发散 . 例5 判别广义积分 解 因为 故根据推论2知，题设广义积分发散 . 的敛散性. 例6 判别广义积分 的收敛性，其中 都是常数，且 解 而 收敛 . 收敛，故题设广义积分收敛 . 例7 判别广义积分 . 解 由于 而 收敛，故 收敛，即 绝对收敛 . （三）无界函数的广义积分审敛法 定理：（比较原理）设函数 在区间 上连续，， 1）如果： 且 收敛，则 收敛； 当x充分靠近点a时有 2）如果：当x充分靠近点a时有 且 发散则 发散（即大的收敛则小的也收敛，反之小的 发散则大的也发散） 补充：无界函数广义积分中p积分的收敛性 与无穷限广义积分情况正好相反 取 Cor3设 在区间 上连续，且 1）如果存在常数M>0,及 ,使得： 则 收敛； 2）如果存在常数N>0,及q≥1,使得 则 发散 Cor4.（极限形式）设 在区间 上连续，且 如果存在常数0<q<1，使得： 存在，则广义积分 2）如果存在常数 ，使得： 存在，则广义积分 发散 收敛 例8 判别广义积分 的收敛性. 是 的瑕点，且 所以，当 即 时，题设广义积分收敛 ;当 即 时，题设广义积分发散 . （四）无界函数的广义积分审敛法例题 解 由于 例9 判别广义积分 解 被积函数在点 的右邻域内无界.又由洛必达法则知 故根据推论4知，题设广义积分发散. 的收敛性. 例10 判别广义积分 解 因为 而 广义积分 收敛，从而题设广义积分也收敛. 的收敛性. 收敛，根据比较审敛原理知， 例11.考研题（2010.1） 设m，n均为正整数，，则反常积分 的收敛性为（ ） （B）仅与n的值有关 （A）仅与m的值有关 （C）与m，n的值都有关 （D）与m，n的值都无关 解：瑕点：X=0与x=1 分1）n>1,2）n=1，m=1,2； 3）n=1， m>2讨论 对于 对于 当 0<p<1时 故无论 对于任意的m，n均收敛，故选（D） （罗比达） * = * =