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2019 年全国初中数学联合竞赛试题及详解
第一试
一、选择题： （本题满分42 分，每小题 7 分）
10 10
1. 若 a, b,c 均为整数且满足 ( a b) ( a c) 1，则 | a b | | b c | | c a | （ B ）
A ．1. B ．2. C ．3. D ．4.
a b 0 a b 1
解： 由已知可推得 b c 1 或 b c 1 ，分别代入即得。
a c 1 a c 0
2 ．若实数 a,b, c 满足等式 2 a 3 | b | 6 ， 4 a 9 | b | 6c ，则 c 可能取的最大值为 （ C ）
A ．0. B．1. C ．2. D ．3.
解： 由已知， 6c 4 a 9 b 2(2 a 3 b ) 15 b 12 15 b 12，∴ c 2 .
a 1 b 1
3 ．若 a ,b 是两个正数，且 1 0, 则 （ C ）
b a
1 1 4 4
A ． 0 a b . B ． a b 1. C ． 1 a b . D ． a b 2 .
3 3 3 3
2 4
解： 当 a b时，可计算得 a b ，从而 a b 。观察 4 个选项，只能选 C.
3 3
2 4 2
4 ．若方程 x 3x 1 0 的两根也是方程 x ax bx c 0 的根，则 a b 2c 的值为 （ A ）
A ．－ 13. B ．－ 9. C ．6. D ． 0.
解： 由已知： x4 ax 2 bx c 一定能被 x 2 3x 1整除。
4 2 2 2
∵ x ax bx c ( x 3x 1)(x 3x a 10) [(3 a b 33)x (a c 10)]
3a b 33 0
∴ (3a b 33)x (a c 10) 0 ，故 a b 2c 13
a c 10 0
5 ．在△ ABC 中，已
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