劳斯判据总结计划.docx

第三章 劳斯判据 3-1 稳定性 1、 定性的概念 2、判 系 定性的基本原 性系 定的充要条件 ： 所有特征根均 数或具有 的 数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分 。 由于特征根就是系 的极点，因此， 性系 定的充要条件也 可表述 ： 系 的极点均在 s平面的左半平面 。 然， 定性与零点无关。当有一个根落在右半部，系 不 定。 当有根落在虚 上 (不包括原点 )，此 界 定，系 生持 振 。 3-2 劳斯稳定判据 斯判据 斯判据步 如下： 1）列出系 特征方程： a0 Sn a1 Sn 1 a2 Sn 2 an 1S an 0 a0 0 (3 55 各 系数 是否大于 0，若是， 行第二步。 可 ， ai ， i 1,2,L 是 足系 定的 必要条件 。 2）按系 的特征方程式列写 斯表 3）考察 斯 列表中第一列各数的符号，如果 第一列中各数 a0、 a1、b1、c1、??的符号相同，系 定 ；如果符号不同，系 不 定， 且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。 通常 a0 0 ，因此，劳斯稳定判据可以简述为 劳斯表中第一列的各数均 大于零。 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化， 其变化的次数等于该特征方程式的根在 S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。 ※※ 劳斯判据特殊情况 I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数 来代替零这一项，据此算出其余的各项，完 成劳斯表 如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程 中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。 II）劳斯表中出现全零行 表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。 利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助 多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行 ,完成劳斯表的排列。这 些大小相等、 符号 相反的根可通过求解辅助方程得到， 而且其根的数 目总是偶数的。 例如：控制系统的特征方程为 s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0 列劳斯表 S6 1 8 20 16 S5 2 12 16 0 S4 2 12 16 S3 0 0 0 8 24 S2 6 16 S1 8 0 3 S0 16 由 于 s3 这 一 行 全 为 0 ， 用 上 一 行 组 成 辅 助 多 项 式 dF (s) 8s3 24s，由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方 ds 程在 S 右半平面上没有特征根。令 F(s)=0， F (s) 2s4 12s2 16s 2(s4 6s2 8) 2(s2 2)( s2 4) 0 得 s1,2 j 2, s3,4 j 2 . 求得两对大小相等、符号相反的根 j 2 , j 2 ，显然这个系统处于临界稳定状态。