哈工大高数基础讲义ch7.doc

第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 空间直角坐标系 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 教学难点：空间思想的建立 教学内容： 一、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角度转向正向轴时，大拇指的指向就是轴的正向。 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：轴、轴、轴，坐标面分别为面、面、面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。 图7－1右手规则演示图 图7－2空间直角坐标系图 图7－3空间两点的距离图 3．空间点的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。 注意：特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点； b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。 4．空间两点间的距离。 若、为空间任意两点， 则的距离（见图7－3），利用直角三角形勾股定理为： 而 所以 特殊地：若两点分别为， 例1：求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明: 由于 ，原结论成立。 例2：设在轴上，它到的距离为到点的距离的两倍，求点的坐标。 解：因为在轴上，设P点坐标为 所求点为：， 小结：空间直角坐标系（轴、面、卦限） 空间两点间距离公式 作业： 第二节 向量及其运算 教学目的：使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.向量的概念 2.向量的运算 教学难点：向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 量的表示方法有: 、、、等等。 向量相等：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 量的模：向量的大小，记为、。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 量平行：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 二、向量的运算 1．加减法： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4 图7－4 加法运算图 2． 即 3．向量与数的乘法：设是一个数，向量与的乘积规定为 时，与同向， 时， 时，与反向， 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设表示与非零向量同方向的单位向量，那么 定理1：设向量a≠0，那么，向量b平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b＝ 例1：在平行四边形ABCD中，设，，试用和b表示向量、、和，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：，于是 由于， 于是 又由于，于是 由于， 于是 小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。 作业：作业卡 P72~P73 第三节 向量的坐标 教学目的：进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知识打好基础。 教学重点：1.向量的坐标表示式 2.向量的模与方向余弦的坐标表示式 教学难点：1.向量的坐标表示 2.向量的模与方向余弦的坐标表示式 教学内容： 一、向量在轴上的投影 1．几个概念 (1) 轴上有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果数满足，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那么数叫做轴上有向线段的值，记做AB，即。设e是与轴同方向的单位向量，则 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有 两向量夹角的概念：设有两个非零向量和b，任取空间一点O，作，，规定不超过的称为向量和b的夹角，记为 空间一点A在轴上的投影：通过点A作轴的垂直平面，该平面与轴的交点叫做点A在轴上的投影。 向量在轴上的投影：设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别为点和，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记做。 2．投影定理 性质1：向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦： 性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即