平口函数性质.docx

学习数学，领悟数学，秒杀数学。 关于平口（绝对值）函数的一些秒杀方案 平口二次函数问题 去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是，一切这些系数与二次函数的形状没有任何影响。在初中的课本中提到的，我们将坐标轴去掉，单纯研究二次函数，解决当时，，求最小值问题。由于有了绝对值，函数成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围。 图1 图2 图3 如图1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离叫蝶宽，此时函数定顶点到蝶宽弦的距离称为蝶高，相对应的角叫蝶角，定义，可以得出以下定理： ①，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大； ②以对称轴为中心，每增加的蝶宽，相对应的蝶高比为，增加的蝶高比为； ③如图2，处于同一单调区间时，最大值和最小值的差值在区间距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时，在区间中点距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大，故当仅当对称轴为中点时，； 综上，如图3，当，时，取得最小值，此时，。 例1：在中，找出使得取得最小值时的函数表达式为 解：根据平口二次函数定理可知当仅当时，能取得最小值，此时 ；又，； 。 例2：设函数，对于任意的实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是 。 解：根据题意，需要找到，不妨设， ，根据平口二次函数定理：当，又由于， 故，，综上，当时，总存在，使得成立。 总结：平口函数就是在区间的左右端点同时取最大值（最小值）的一类函数总称.平口二次函数由于其特殊的对称性，能在区间的算数平均数中点取到另一个最值。 平口对勾函数问题 对勾函数涉及极值偏移，算数平均数的中点的值不代表最值，时，，求最小值问题，根据平口二次函数的推论，可以知道是，如图4，求出参数以后再根据确定参数； 定理：当仅当时，对勾函数在区间才能构成平口对勾函数，去最小值时取到了的几何平均数中点。 图4 例3：（2016台州期末）已知，当时，设的最大值为，则最小值为 解：为最小时，函数一定为平口函数，构造，根据平口函数性质可得：，又因为，最小值为。 例4：设函数，对于任意的实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是 。 解：由，可知为平口函数，构造，一定有，则，又因为当时，取得最小值，， 秒杀秘籍：关于平口函数的万能招数 所有的平口函数一定满足一个共性：出现求，时，一定为平口函数，若有一个极值点，也叫平口单峰函数，若，， 此为平口单峰函数的万能招数。 既然如此，再来几道题，都可以直接秒杀了。 建议大家边写题边拍一下参考答案给的解法，对比一下，这种类型题能减少讨论是最好的。 例5：（2018呼和浩特期中）设函数若对于任意的实数总存在实数，使得成立，则实数的取值范围为 。 解：令，，令一看是平口二次函数模型，直接上秒杀 ，故。 例6：（2018秋杭州期中）已知，对于任意的，，都存在使得成立，则实数的取值范围为 。 解：，，故为单调增函数，无峰最值只能在两端，根据平口函数理论， 注意，没有峰的函数，一定用，这个方法百试不爽。 例7：求； 解：令，无峰不最值，构造平口单峰函数，则当，此时，当时，，故 下面给出一个平口单峰函数的解答题证明过程： 若函数在区间为连续的单峰函数，且，此函数为平口单峰函数，为其极值点，则的最小值为，当仅当时取得。 证明：若时，如图5，图6，则端点值的增量为，而极值点的增量为或者，由于故，故不符合题意，即 图5 图6 例8：（2016?天津理）设函数，，其中，． （1）求的单调区间； （2）若存在极值点，且，其中，求证：； （3）设，函数，求证：在区间，上的最大值不小于． 解：（1）函数的导数为，当时，，在上递增；当时，当或时，，当，， 可得的增区间为，，，减区间为，； 老唐说题提示：第（1）问发现的对称中心为，第二问即证明如图7所示的三次函数的四段等分理论：设的极大值为，当成的两根为，，则区间被和极小值点三等分，类似的，对极小值点也有此结论。 （2）证明：，可得，由， ， 即为，即有，即为； （3）证明：要证在区间，上的最大值不小于，只需证在，上存在，，使得．当时，在，递减，（2），，（2），递减，成立； 当时，， ， （2），，（2）， 若时