小小点坐标，专破压轴题.pdfVIP

文末获取Word版 利用点的坐标处理解析几何问题 有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入” 步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问 题。 一、基础知识 ： 1、韦达定理的实质 ：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其 视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质 是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与 相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式 过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行 整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣 ： （1）优点 ：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受 形式的约束 （2）缺点 ：有些方程的根过于复杂 （例如用求根公式解出的根），从而使得点的坐标也变得复杂 导致运算繁琐。那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入 3、求点坐标的几种类型 ： （1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂 （不是求根公式的形式），则可考虑把点 的坐标解出来 （用核心变量进行表示） （2）直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标已知，则另一交点必然可求 （可用韦达定理或因 式分解求解） 4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能够 整体代入，也要考虑整体代入以简化运算。（整体代入是解析几何运算简化的精髓） 二、典型例题 ： 例1：已知椭圆 上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆 的 短轴为直径的圆 经过这两个焦点，点 分别是椭圆 的 左右顶点 （1）求圆 和椭圆 的方程 文末获取Word版 （2）已知 分别是椭圆和圆上的动点 （ 位于 轴的两侧），且直线 与 轴平行，直 线 分别与 轴交于点 ，求证 ： 为定值 解 ：（1）依题意可得 ， 过焦点，且 ，再由 可得 椭圆方程为 ，圆方程为 （2）思路 ：条件主要围绕着 点展开，所以以 为核心，设 ，由 与 轴平行，可 得 。若要证明 为定值，可从 的三角函数值下手，在解析中角的余弦 值 可以 与 向量 的数 量积 找 到联 系 ，从 而能够 转化 为坐标 运 算 。所 以考 虑 ，模长并不利于计算，所以先算 ，考虑利用条件设出 方程，进而 坐标可用核心变量 表示，再进行数量积的坐标运算可得 ， 从而 ，即为定值 解 ：设 与 轴平行， 设 ，由 所在椭圆和圆方程可得 ： 由椭圆可知 ： 令 ，可得 ： 同理 ： 可得 文末获取Word版 ，代入 可得 ： ，即 为定值 思路二 ：本题还可以以 其中一条直线为入手点 （例如 ），以斜率 作为核心变量， 直线 与椭圆交于 两点，已知 点坐标利用韦达定理可解出 点坐标 （用 表示），从 而可进一步将涉及的点的坐标都用 来进行表示，再计算