平面向量的概念和线性运算.ppt

3.实数与向量的积:(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,规定:|λa|=|λ||a|.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.由此可见,总有λa与a平行;(2)运算律:λ(ua)=(λu)a,(λ+u)a=λa+ua,λ(a+b)=λa+λb. [反思感悟]在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点发现的基本向量或首尾相连的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求解,即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系,运用三角形、平行四边形法则,充分利用三角形中的中位线,相似三角形对应边成比例的平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解. 类型三 数乘向量与共线向量定理的应用 解题准备:(1)向量共线是指存在实数λ使两向量互相表示. (2)向量共线的充要条件中,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想. (3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (2)∵ka+b与a+kb共线, ∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb), 即ka+b=λa+λkb. ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a、b是不共线的两个非零向量. ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0. ∴k=±1. [反思感悟](1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线. 错源一 忽视零向量性质致误 【典例1】下列叙述错误的是________. ①若a∥b,b∥c,则a∥c; ②若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a、b之一的方向相同; ③|a|+|b|=|a+b|a与b方向相同; ④向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa; ⑤ ⑥若λa=λb,则a=b. [剖析]忽视零向量的特殊性是本题出错的主要原因,本题前四个结论都与此有关;另外两个相反向量的和是一个零向量,不是实数零;最后一个结论可能忽视了λ=0的情况. [正解]这六个命题都是错误的,因为对于①,当b=0,a不一定与c平行; 对于②,当a+b=0时,其方向任意,它与a、b的方向都不相同; 对于③,当a、b之一为零向量时结论不成立; 对于④,当a=0,且b=0,λ有无数个值;当a=0但b≠0,λ不存在. 对于⑤,由于两个向量之和得到的仍是一个向量,所以 对于⑥,当λ=0时,不管a与b的大小与方向如何,都有λa=λb,此时不一定有a=b. [答案]①②③④⑤⑥ [评析]零向量的特殊性 零向量是向量中最特殊的向量,规定零向量的长度为0,其方向是任意的,零向量与任意向量都共线.它在向量中的位置正如实数中0的位置一样,但有了它容易引起一些混淆,稍微考虑不到就会出错,考生应给予足够的重视. 错源二 错用实数运算律或运算法则 [错解]|a+b+c|=|a|+|b|+|c|= [剖析]上述解法受实数运算律和运算法则的影响致错. [答案]4 技法一 数形结合思想 【典例1】已知任意四边形ABCD,O为其内部一点,且满足 试确定该点的位置. [解题切入点]条件中涉及四个向量的和的问题,为了利用向量的加法法则,我们可把四个向量之和的问题,转化为向量两两相加的情形来解决. [解]点O是四边形ABCD对边中点连线的交点,证明如下: 如图,以OA、OD为邻边作AODE,设OE与AD交于I;以OB、OC为邻边作BOCF,设OF与BC交于J,于是I、J分别是AD与BC的中点. 技法二 分类讨论思想 【典例2】已知向量a、b,求作向量c,使a+b+c=0,表示a、b、c的有向线段能构成三角形吗? [解题切入点]本题需对两已知向量a和b的情形加以分类讨论. [解]当a和b中至少有一个是零向量时,作图较简单,而且显然它们不构成三角形.以下假定a和b都为非零向量: 若a∥b,则分同向和异向作图(略),它们都不能构成三角形. 知识回顾Knowledge Review 第*页 共 49 页 第五模块平面向量 第二十三讲 平面向量的概念及线性运算 回归课本 1.向量的概念 (1)把既有大小又有方向的量叫做向量. (2)把只有大小,没有方向的量(如年龄?身高?长度?面积?体积?质量等),称为数量. (3)向量的大小叫做向量的长度(或模).长度为零的向量叫零向量,记作0,零向量的方