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一.(本题满分8分)
在正方形中任取一点,求使得方程有两个实根的概率.
解:
设“方程有两个实根”,所求概率为.
设所取的两个数分别为与,则有,.
因此该试验的样本空间与二维平面点集
中的点一一对应.…………………………………2分
随机事件与二维平面点集,即与点集
…………………2分
中的点一一对应.
所以, .…………………4分
二.(本题满分8分)
从以往的资料分析得知,在出口罐头导致索赔的事件中,有是质量问题;有是数量短缺问题;有是产品包装问题.又知在质量问题的争议中,经过协商解决的占;在数量短缺问题的争议中,经过协商解决的占;在产品包装问题的争议中,经过协商解决的占.如果在发生的索赔事件中,经过协商解决了,问这一事件不属于质量问题的概率是多少?
解:
设“事件属于质量问题”,“事件属于数量短缺问题”,
“事件属于产品包装问题”.
“事件经过协商解决”.所求概率为.…………………2分
由Bayes公式,得
…………………2分
.…………………2分
所以,.…………………2分
三.(本题满分8分)
设随机事件满足:.证明:对任意随机事件,有.
解:
因为,所以,.…………………2分
所以,对任意的随机事件,由,以及概率的单调性及非负性,有
,
因此有.…………………2分
所以,对任意的随机事件,由,以及与的互不相容性,得
.………………4分
四.(本题满分8分)
设随机变量的密度函数为
,
并且已知,试求方差.
解:
由及,得
,…………………2分
.…………………2分
由此得线性方程组 .
解此线性方程组,得.…………………2分
所以,,
所以,.…………………2分
五.(本题满分8分)
经验表明,预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为.某餐厅有个座位,但预定给了位顾客,问到时顾客来到该餐厅而没有座位的概率是多少?
解:
设表示52位预订了座位的顾客中来就餐的顾客数,则.…………1分
则所求概率为.…………………2分
…………………2分
.…………………3分
六.(本题满分10分)
将一颗均匀的骰子独立地掷次,令表示这次出现的点数之和,求(5分)与(5分).
解:
设表示第次出现的点数,.
则相互独立,而且.
而的分布列为 ,.…………………2分
所以,
, .…………………2分
所以,由数学期望的性质,得
.…………………2分
, .…………………2分
所以,由的相互独立性,及数学期望的性质,得
.…………………2分
七.(本题满分10分)
设随机变量,求随机变量的密度函数.
解:
由题意,随机变量的密度函数为,.………1分
设随机变量的分布函数为,则有
,…………………2分
所以,当时,;…………………1分
当时,
…………………2分
因此有 ,…………………2分
所以,随机变量的密度函数为
.…………………2分
八.(本题满分10分)
设二维随机变量的联合密度函数为
,
求与的相关系数.
解:
,
,…………………2分
,
,…………………2分
,
所以有 ,…………………2分
,
,…………………2分
因此,有
.…………………2分
九.(本题满分10分)
一生产线生产的产品成箱包装,假设每箱平均重,标准差为.若用最大载重量为的汽车来承运,试用中心极限定理计算每辆车最多装多少箱,才能保证汽车不超载的概率大于(设,其中是标准正态分布的分布函数).
解:
若记表示第箱的重量,.则独立同分布,且
, .…………………2分
再设表示一辆汽车最多可装箱货物时的重量,则有 .
由题意,得 .…………4分
查正态分布表,得 ,…………………2分
当时,;时,,故取,即每辆汽车最多装箱货物.…………………2分
十.(本题满分8分)
设总体,是取自该总体中的一个样本.令
,
试确定常数,使得随机变量服从分布.
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