第4讲1 分形几何与分形插值.ppt

更精确地说，令E0 :＝[0, 1]，E1 :＝[0, 1/3]∪[2/3, 1]，…，并且令Ek+1 是从去掉Ek每一个小区间中间的三分之一而得到。很清楚Ek是由2k 个小区间组成，且每个小区间的长度为(1/3)k。注意，Ek可以通过连续地使用函数fi : [0, 1]→[0, 1], i＝1,2 而得到。对于前一步Ek-1集的每一个小区间，fi由下式给定： 和 （3.1.1） （3.1.2） 那么Cantor集就定义成 。 众所周知，E是一个完备集。也就是说它是闭的并且自身是稠密的。Cantor集F并不包含任何区间，它的一维勒贝格测度等于零。但是，E是不可数的，它的零维勒贝格测度是无穷大。这种相当简单的研究给了我们一个启示：对于精确地度量E的“体积”，勒贝格测度是太粗糙了(事实上这是分形集的一般特征)。然而，豪斯道夫引进了一种测度，这种测度将一个有限的非零数与集C联系在一起。 现在我们给出Cantor集的具体作法（见图3.1）。设E0表示线段[0，1]上所有实数的集合，把线段[0，1]分成三等份，把中央的三分之一部分[1/3，2/3]去掉，用E1表示这剩下两个线段[0，1/3]，[2/3，1]。接着，把剩余的线段[0，1/3]，[2/3，1]再分别分成三等份，去掉各自中央的三分之一部分[1/9，2/9]， [7/9，8/9]，用E2表示剩下四个线段[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]，[8/9，1]。这种作法不断重复下去，得到Cantor集F。三分Cantor集F是由属于所有Ek当k趋于无穷时的极限，是一个不可数的无穷集。图3.1给出了第5级的情况。在下一章，我们将给出Cantor集的自相似维数。 下面列出三分Cantor集F的一些性质： (1)F是自相似的。很明显，在区间[0，1/3]和[2/3，l]内的F的部分与F是几何相似的，相似比为1/3。F在E2的四个区间内的部分也与F相似，相似比为1/9。以此类推，这个集包含许多不同比例的与自身相似的子集。 (2)F具有“精细结构”。它包含有任意小比例的细节，即在任意小的尺度内都包含整体特征。越放 大三分Cantor集的图，间隙就越清楚地呈现出来。 (3)尽管F有错综复杂的细节结构，但E的实际定义却非常简单明了。 (4)F是由一个迭代过程产生的，它的结构是由重复去掉区间中间的1/3得到。持续的步骤得到的Ek是E的越来越好的逼近。 (5)F的几何性质难以用传统的几何术语来描述，它的点的轨迹既不满足某些简单的几何条件，也不是某个简单方程的解集。 (6)F的局部几何性质也是很难描述的，在它的每个点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点。 (7)虽然F在某种意义上是相当大的集(它是无限不可数的)，然而它是不能用通常的测度和长度来度量，用任何合理的长度意义下，F的长度总为零。 图3.1 Cantor集 1 8/9 7/9 2/3 1/3 2/9 1/9 0 E0 E1 E2 E3 E4 E5 3.1.2 Cantor尘的构造 一个平面中的Cantor集，称为“Cantor尘”[19]，如图3.2所示。构造“Cantor尘”的步骤与三分Cantor集的类似，它的每一步骤是把正方形等分成16个小正方形，保留其中四个而把其余的去掉。当然，保留不同次序或个数不同的小正方形，可以构造出不同的集。显然“Cantor尘”具有与在三分Cantor集中指出的那些性质相似的性质。 图3.2 Cantor尘 Cantor集的构造还可以有随机的类似形式。以三分Cantor集为例，它的构造可以用几种不同的方法随机化。每次把线段分成三部分，但不是总去掉中间的一段，可以用掷骰子来决定去掉哪部分。另外，也可以在每步的构造中随机地选择区间的长度，可以在第k步，得到2k个不同长度的区间，最终得到一个看起不规则的图形。 一般地说，在构造随机的Cantor集时，有两个条件是可以改变的：其一是对初始长度L0进行多少等分或不等分；其二是留下哪些部分，去掉哪些部分。在Cantor三分集中，可以随机地保留其中的两部分，每部分的长度也可以是随机变化的。得到的图形将是更加错综复杂的。 3.2 Koch曲线 3.2.1 Koch曲线的构造 现在我们介绍Koch曲线的构造(图3.3)。 开始，设单位长度的线段为E0 ； 第一步，将E0分成三等份，去掉中间的一段，并以两条长为1/3的折线来替代，得到E1； 第二步，将E1中的每条线段三等份，去掉中间的一段，用长(l/3)2的两条折线替代，得到E2；