校本课程数学竞赛讲义2.doc

实用标准 文档 第五章 直线、圆、圆锥曲线 一 能力培养 1,函数与方程思想 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力 二 问题探讨 问题1设坐标原点为O,抛物线与过焦点的直线交于A,B两点,求的值. 问题2已知直线L与椭圆交于P,Q不同两点,记OP,OQ的斜率分别为 ,,如果,求PQ连线的中点M的轨迹方程. 问题3给定抛物线C:,F是C的焦点,过点F的直线与C相交于A,B两点. ( = 1 \* ROMAN I)设的斜率为1,求与夹角的大小; ( = 2 \* ROMAN II)设,若,求在轴上截距的变化范围. 问题4求同时满足下列三个条件的曲线C的方程: = 1 \* GB3 ①是椭圆或双曲线; = 2 \* GB3 ②原点O和直线分别为焦点及相应准线; = 3 \* GB3 ③被直线垂直平分的弦AB的长为. 三 习题探 选择题 1已知椭圆的离心率,则实数的值为 A,3 B,3或 C, D,或 2一动圆与两圆和都外切,则动圆圆心的轨迹为 A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线 3已知双曲线的顶点为与(2,5),它的一条渐近线与直线平行,则双曲 线的准线方程是 A, B, C, D, 4抛物线上的点P到直线有最短的距离,则P的坐标是 A,(0,0) B, C, D, 5已知点F,直线:,点B是上的动点.若过B垂直于轴的直线与线段 BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是 A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线 填空题 6椭圆上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离 为,则此椭圆的方程为 . 7与方程的图形关于对称的图形的方程是 . 8设P是抛物线上的动点,点A的坐标为,点M在直线PA上, 且分所成的比为2:1,则点M的轨迹方程是 . 9设椭圆与双曲线有共同的焦点,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍, 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 . 解答题 10已知点H,点P在轴上,点Q在轴的正半轴上,点M在直线PQ上, 且满足,. ( = 1 \* ROMAN I)当点P在轴上移动时,求点M的轨迹C; ( = 2 \* ROMAN II)过点T作直线与轨迹C交于A,B两点,若在轴上存在一点E, 使得是等边三角形,求的值. 11已知双曲线C:,点B,F分别是双曲线C的右顶点和右焦点, O为坐标原点.点A在轴正半轴上,且满足成等比数列,过点F作双曲 线C在第一,第三象限的渐近线的垂线,垂足为P. ( = 1 \* ROMAN I)求证:; ( = 2 \* ROMAN II)设,直线与双曲线C的左,右两分 支分别相交于点D,E,求的值. 12已知双曲线的两个焦点分别为,,其中又是抛物线的焦点,点A, B在双曲线上. ( = 1 \* ROMAN I)求点的轨迹方程; ( = 2 \* ROMAN II)是否存在直线与点的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数的值,若不存在,请说明理由. 四 参考答案 问题1解:(1)当直线AB轴时,在中,令,有,则 ,得. (2)当直线AB与轴不互相垂直时,设AB的方程为: 由,消去,整理得,显然. 设,则,得 =+=+ = ==. 综(1),(2)所述,有. ypQo问题2解:设点P,Q,M的坐标分别为 y p Q o x由条件知 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② x , = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④ = 1 \* GB3 ①+ = 2 \* GB3 ②得 即,将 = 3 \* GB3 ③, = 4 \* GB3 ④代入得, 于是点M的轨迹方程为. 问题3解:( = 1 \* ROMAN I)C的焦点为F(1,0),直线的斜率为1,所以的方程为, 把它代入,整理得 设A,B则有. +1=. , 所以与夹角的大小为. ( = 2 \* ROMAN II)由题设得,即. 得,又,有,可解得,由题意知, 得B或,又F(1,0),得直线的方程为 或, 当时,在轴上的截距为或,由,可知 在[4,9]上是递减的,于是,, 所以直线