高等数学第章导数与微分续.ppt

第 三 章 导 数 与 微 分 §4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 4.2由参数方程所确定的函数的导数 §5 函数的微分 练习 作业： * 求导法则与导数公式 导数的四则运算 复合函数的导数 4.1 隐函数的导数 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 的方程) 例1求由方程 在 处的导数 所确定的隐函数 解 方程两边对 求导,得 解得 因为当 时，由原方程得 ，所以 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 在 x = 0 处的导数 确定的隐函数 例2 求由方程 例3 求曲线 处的切线方程. 在点 解 方程两边分别对x求导，得 解得 于是所求切线方程为 即 例4求由下列方程确定的隐函数 y = f (x) 的导数： 求 对数求导法 观察 5 将幂指函数表示为 直接求导得 另解 1) 对幂指函数 可用对数求导法求导 : 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 说明:一般地 将幂指函数表示为 直接求导得 另解 对数求导法同时适用于积与商的函数求导数： 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例5 求 的导数。 解 两边取对数，得 两边对 求导，得 于是 若参数方程 为由参数方程所确定的函数。 即 或 确定 的函数，则称此函数关系所表达的函数 为 例6 已知椭圆的参数方程为 求椭圆在相应的点 处的切线方程. 解 当 时,椭圆上的相应点 的坐标是： 曲线在 的切线斜率为： 或 即得椭圆在 点的切线方程 则 例8 设 求 解 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于△x 的线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在 取 得增量 时, 变到 边长由 其 5.1 微分的概念 1.定义 函数 y = f (x) 可微的条件 二、微分四则运算法则 三、复合函数的微分法则 及一阶微分形式不变性 则复合函数 设 的微分为： 由于 一阶微分形式不变性 解 解 例2 求函数 例2 求函数 的微分. 例3 求函数 的微分. 例4 求下列函数的微分 y = (3x2 – 4) (4x3 + x – 1 ) 解： ∵ y′= (3x2 – 4)′ (4x3 + x – 1 ) + (3x2 – 4) (4x3 + x – 1 )′ = 6x (4x3 + x – 1 ) + (3x2 – 4) (12x2 + 1 ) = 60x4 – 39x2 – 6x – 4 ∴ 函数的微分为： d y = (60x4 – 39x2 – 6x – 4 ) dx 解 例5 求函数 的微分. *