抽象函数经典习题.doc

PAGE 资料 抽象函数问题有关解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、解析式问题： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例1：已知 ,求. 解：设,则∴∴ 2.凑配法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知，求 解：∵又∵ ∴，(||≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知二次实函数，且+2+4,求. 解:设=，则 =比较系数得∴ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例5．一已知为偶函数，为奇函数，且有+， 求,. 解：∵为偶函数，为奇函数，∴,, 不妨用-代换+= ………①中的, ∴即－……② 显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出 5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。 例 6.已知，求的表达式 解：用代替得到 （1） 又 （2） 2（1）-（2）得到，于是 二、求值问题 例7. 已知定义域为的函数，同时满足下列条件：①；②，求的值。 解：取，得 因为，所以 又取 得 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 三、定义域问题 例8. 已知函数的定义域是［1，2］，求的定义域。 解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足 从而函数f(x)的定义域是［1，4］ 评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。 五、判断函数的奇偶性： 例11已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。 证明：令=0, 则已知等式变为……① 在①中令=0则2=2∵ ≠0∴=1∴∴∴为偶函数。 六、单调性问题 例12. 设定义于实数集上，当时，，且对于任意实数有，求证：在R上为增函数。 证明：在中取，得 若，令，则，与矛盾 所以，即有 当时，；当时， 而 所以 又当时， 所以对任意，恒有 设，则 所以 所以在上为增函数。 评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 七、解抽象不等式（确定参数的取值范围） 例13：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。 解：由得，∵为函数，∴ 又∵在（-1，1）内递减，∴ 巩固练习 练习一 1．给出四个函数，分别满足①；②； ③；④，又给出四个函数图象 丁 丁 正确的匹配方案是（ ） （A）①—丁②—乙③—丙④—甲 （B）①—乙②—丙③—甲④—丁 （C）①—丙②—甲③—乙④—丁 （D）①—丁②—甲③—乙④—丙 2．定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，y∈R)，当x<0时，, f (x)>0，则函 数f (x)在[a,b]上? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?(? ? ) ??A 有最小值f (a)? ???B有最大值f (b)? ???C有最小值f (b)? ? D有最大值f () 3．?设函数的定义域为Ｒ，且对恒有 若（　 ） Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ． 4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 5．定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当 时，．（1）试举出一个满足条件的函数；（2）试求的值；（3） 判断的单调性并证明你的结论；（4）若解不等式 1-4 D C C D 5．（1）如，（2）在中，令．得：．因为，所以，．（3）要判断的单调性，可任取，且设．在已知条件中，若取，则已知条件可化为：．由于，所以．为比较的大小，只需考虑的正负即可．在中，令，，则得．∵ 时，， 当时，．又，所以，综上，可知，对于任意，均有．∴ ．∴ 函数在R上单调递减，（4）若则，则不等式，由函数在R上单调递减，则，则不等式的解集为。 练习二 1.若奇函数，满足，则等于（　） A．0 B．1 C． D． 2.设对任意实数、，函数满足。 （1）求证：；（2）求证：为偶函