精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料).docVIP

- PAGE 1 - 初中数学竞赛专题讲解最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查． 【十二个基本问题】 【问题1】 作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 连AB，与l交点即为P． 两点之间线段最短． PA+PB最小值为AB． 【问题2】“将军饮马” 作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 作B关于l的对称点B＇连A B＇，与l交点即为P． 两点之间线段最短． PA+PB最小值为A B＇． 【问题3】 作法 图形 原理 在直线、上分别求点M、N，使△PMN的周长最小． 分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N． 两点之间线段最短． PM+MN+PN的最小值为 线段P＇P＇＇的长． 【问题4】 作法 图形 原理 在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小． 分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N． 两点之间线段最短． 四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长． 【问题5】“造桥选址” 作法 图形 原理 直线∥，在、，上分别求点M、N，使MN⊥，且AM+MN+BN的值最小． 将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交于点N，过N作NM⊥于M． 两点之间线段最短． AM+MN+BN的最小值为 A＇B+MN． 【问题6】 作法 图形 原理 在直线上求两点M、N（M在左），使，并使AM+MN+NB的值最小． 将点A向右平移个长度单位得A＇，作A＇关于的对称点A＇＇， 连A＇＇B，交直线于点N，将N点向左平移个单位得M． 两点之间线段最短． AM+MN+BN的最小值为 A＇＇B+MN． 【问题7】 作法 图形 原理 在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小． 作点P关于的对称点P＇，作P＇B⊥于B，交于A． 点到直线，垂线段最短． PA+AB的最小值为线段P＇B的长． 【问题8】 作法 图形 原理 A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小． 作点A关于的对称点A＇，作点B关于的对称点B＇，连A＇B＇交于M，交于N． 两点之间线段最短． AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长． 【问题9】 作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使的值最小． 连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P． 垂直平分上的点到线段两端点的距离相等． ＝0． 【问题10】 作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使的值最大． 作直线AB，与直线l的交点即为P． 三角形任意两边之差小于第三边．≤AB． 的最大值＝AB． 【问题11】 作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使的值最大． 作B关于l的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P． 三角形任意两边之差小于第三边．≤AB＇． 最大值＝AB＇． 【问题12】“费马点” 作法 图形 原理 △ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小． 所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求． 两点之间线段最短． PA+PB+PC最小值＝CD． 一、基础过关 1.如图所示，是一个圆柱体，底面周长为,高为,一只蚂蚁要从外壁的A处到内壁的B处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程 . 2.如右图是一个长方体木块，已知，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 3.正方形的边长为，在上，且，是上的一动点，的最小值为 。 4.在菱形中，，，点是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值为 5.如图，在中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值为 第5题第4题第2题第3题第1题ABCD 第5题 第4题