《线性代数课件3-2矩阵的初等变换与初等矩阵》课件.ppt

列变换 行变换 七、初等变换应用三 方法： 变换成 即得所求 利用初等行变换将 例5 设 的行最简形矩阵为 ，求 ，并求一个可逆矩阵 ，使 解： 八、思考题 解： 解： 经四次初等行变换化成单位矩阵 而这4次初等行变换所对应的初等阵为: 由初等方阵的性质得 于是 注：答案不唯一 §2 矩阵的初等变换与初等矩阵 目的要求 （3）掌握利用初等行变换判别方阵是否可逆和求逆阵的方法； （1）了解矩阵的初等列变换、标准形等概念； （2）掌握初等矩阵的特点和在矩阵乘法中的作用； （4）掌握利用初等行变换求解特殊矩阵方程的方法. 谢谢！ * §2 矩阵的初等变换与初等矩阵 目的要求 （3）掌握利用初等行变换判别方阵是否可逆和求逆阵的方法； （1）了解矩阵的初等列变换、标准形等概念； （2）掌握初等矩阵的特点和在矩阵乘法中的作用； （4）掌握利用初等行变换求解特殊矩阵方程的方法. 一、初等变换与标准形 矩阵的初等行变换: 矩阵的初等列变换: 初等变换 求解线性方程组为了解不变，必须着眼于 方程整体变化，所以原则上只用矩阵的初等行 变换，而不用矩阵的初等列变换. 标准形 标准形矩阵特点： 任意矩阵经过初等变换总可以化为标准形. 左上角是一个单位矩阵，其余元素均为0. 标准形的形式有四种： 等价关系： 满足以下三个性质的关系称为等价： ” 表示. 等价用“ 1.反身性，A→A； 2.对称性，若A→B，则B→A； 3.传递性，若A→B，B→C，则A→C 等价矩阵： 矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，是一种等价关系，称矩阵A、B等价，记作 矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，是 一种等价关系，称矩阵A与B按行等价，记作 矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，是 一种等价关系，称矩阵A与B按列等价，记作 二、引例 三、初等矩阵 定义：称由单位矩阵经一次初等变换得到 的矩阵为初等矩阵. 1、对调两行或两列 行 第 i ? 行 第 j ? i j i j E(i,j) 2、以非零数k乘某行或某列 行 第 i ? E(i(k)) , 由对角矩阵的特性知： 3、以数k乘某行（列）加到另一行 行 第 i ? 行 第 j ? i i j i j E(i j(k)) 例1 解矩阵方程 解： 例2 解矩阵方程 解： 四、初等变换的性质 定理1 设 是一个 矩阵， 对A 施行一次初等行变换， 相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； 对A 施行一次初等 列变换， 相当于在A 的右边乘以相应的n阶初等矩阵. 方阵可逆的充要条件 定理2： n 阶方阵 可逆 设A可逆，且标准形为 左端行列式为0，右端行列式不为0 ，矛盾. 初等矩阵可逆，有限个可逆阵乘积也可逆. 可以写成有限个初等矩阵的乘积 定理3： 设A与B为 矩阵，则 （1） （2） （3） 存在可逆阵 存在可逆阵 存在可逆阵 五、初等变换应用一---求逆阵 例3 解： 六、初等变换应用二---求解Ax=B 当A为可逆方阵，矩阵方程 AX=B 的解为 例4 解： *