向量矩阵与二次型之习题课5.ppt

* 第五章 习题课 一、向量内积的定义及运算规律 定义: 设有n维向量 记[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + ··· + xn yn, 称[x, y]为向量x与y的内积. [x, y] =xT y. 内积的运算性质 设x, y, z为n维向量, ?为实数, 则 (1) [x, y] = [y, x]; (2) [? x, y] = ?[x, y]; (3) [x+y , z] = [x, z] + [y, z]; (4) [x, x] ? 0, 当且仅当x=0时有[x, x]=0. 二、向量的长度及性质 称||x||为n维向量x的长度(或范数). 定义: 令 向量的长度具有下述性质: (1) 非负性: || x|| ? 0, 当且仅当x=0时有|| x || = 0; (2) 齐次性: || ? x|| = | ? | || x ||; (3) 三角不等式: || x+y || ? || x || + || y ||. 单位向量及n 维向量间的夹角 (1)当|| x ||=1时, 称x为单位向量. (2)当|| x || ? 0, || y || ? 0 时, 称为n维向量x与y的夹角. 三、正交向量组的概念及求法 1. 正交的概念 2. 正交向量组的概念 　　若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量组为正交向量组. 当[x, y]=0时, 称向量 x 与 y 正交. 由定义知, 若x=0, 则x与任何向量都正交. 3. 正交向量组的性质 定理1: 若向量组?1, ?2, ··· ,?r 是n维正交向量组, 则?1, ?2, ··· ,?r 线性无关. 定义: 设n维向量组e1, e2, ···, en是向量空间V?Rn的一组正交基, 且都是单位向量, 则称e1, e2, ···, en是向量空间V的一组规范正交基. 若e1, e2, ···, er 是向量空间V?Rn的一组规范正交基,则对任意的 a ?V, 都有: a = ?1e1+?2e2+···+?r er 其中 ?i = [erT, a] = erTa, ( i =1, 2, ···, r ) 4. 求规范正交基的方法 (1) 正交化(施密特正交化过程) 设a1, a2, ···, ar 是向量空间V 的一组基. ··· ··· ··· ··· ··· ··· 取 b1 = a1, 则b1, b2, ···, br两两正交, 且b1, b2, ···, br与a1, a2, ···, ar等价. (2) 单位化, 取 则e1, e2, ···, en是向量空间V的一组规范正交基. 四、正交矩阵与正交变换 定理: A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交. 若n阶方阵A满足ATA = E, 即A-1=AT, 则称A为正交矩阵. 正交矩阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn 的一个规范正交基. 性质: 正交变换保持向量的长度不变. 定义: 若P为正交阵, 则线性变换 y = Px 称为正交变换. 即 五、特征值与特征向量的概念 定义: 设A是n阶方阵, 如果数?和n维非零列向量x使关系式 Ax = ?x 成立, 那末这样的数?称为方阵A的特征值, 非零向量x称为的对应于特征值?的特征向量. 称以?为未知数的一元n次方程| A–?E | = 0为方阵A的特征方程. 记f(?) = | A–?E |, 它是?的n次多项式, 称其为方阵A的特征多项式. 设n阶方阵A=(aij)的特征值为?1, ?2, ···, ?n, 则有: (1) ?1 + ?2 + ··· + ?n = a11 + a22 + ··· + ann; (2) ?1 ?2 ··· ?n = | A |. 六、有关特征值, 特征向量的一些结论 若?是矩阵A的特征值, 则 (1) ?是矩阵AT的特征值, (2) ?m是矩阵Am的特征值(m为正整数); (3) 当A可逆时, 则?-1是逆阵A-1的特征值. 还可以类推: 若?是矩阵A的特征值, 则?(?)是矩阵多项式?(A)的特征值, 其中 ?(?)=a0+a1?+···+am?m, ?(A)=a0E+a1A+···+amAm. 定理: 设p1, p2, ···, pm是方阵A的分别对应于m个互不相等的特征值?1, ?2, ···, ?m的m个特征向量, 则p1, p2, ···, pm线性无关. 注意2: 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于