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* 复合函数的单调性 复合函数的定义:设y=f(u)定义域A,u=g(x)值域为B,若A B,则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,u叫中间量 复合函数的单调性 复合函数的单调性由两个函数共同决定; 引理1:已知函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。 证明:在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,所以g(x1)<g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1<u2,且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,所以f(u1)<f(u2), 即y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。 复合函数的单调性 引理2:已知函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。 证明:在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,所以g(x1)>g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2,且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,所以f(u1)<f(u2), 即y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。 复合函数的单调性 则y=f[g(x)] y=f(u) 若u=g(x) 规律:当两个函数的单调性相同时,其复合函数是增函数;当两个函数的单调性不相同时,其复合函数是减函数。 “同增异减” 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 解:由1-9x2≥0得:-1/3≤x≤1/3 当-1/3≤x≤0,x增大时,1-9x2增大,f(x)减小 当0<x≤1/3,x增大时,1-9x2减小,f(x)增大 ∴函数的单调区间是 [-1/3,0],[0,1/3]。 例2. 已知f ( x )=-x2 + 2x + 8, g ( x ) = f ( 2-x 2 ),求g ( x )的单调增区间. 【解题思路】 x∈某区间A t∈某区间B ①在A上的增减性 ②在B上的增减性 g ( x )在A上的 单调性 关键是A的端点如何确定? ? 【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题,所以应“分层剥离”为两个函数 t=-x2+2 ① y = f ( t ) =-t 2 + 2t + 8 ② 【解】设t =-x2 + 2 ① y =-t 2 +2t + 8 ② 函数②的增、减转折点是 t = 1,把 t = 1 代入①,得 x1=-1,x2=1,又①的增、减转折点是 x3 = 0, 于是三个关节点把数轴分成四个区间: , , , (1)x∈(-∞,-1] 时,函数①递增,且t≤1,而t ∈ (-∞, 1] 时,函数②也递增,故(-∞,-1] 是所求的一个单调增区间; (2)x∈ (-1,0]时,函数①递增,且t∈(1,2] , 而 t∈(1,2] 时,函数②递减, 故(-1,0] 是g ( x )的单调减区间; (3)x∈(0,1]时,函数①递减,且t∈(1,2] , 而 t∈(1,2],函数②也递减, 故(0,1]是g ( x )的单调增区间; (4)x∈(1,+∞)时, 函数①递减,且t∈(-∞,1) 而t∈(-∞,1) 时,函数②递增, 故(1,+∞)是g ( x )的单调减区间. 综上知,所求g ( x )的增区间是 和 例2:设f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上是增函数,又f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a的取值范围。 问:设f(x)是定义在实数集R上的奇函数,且在区间(-∞,0)上是增函数,问在 区间(0,+∞)上f(x)是 增函数还是减函数? (0<a<3) 例1:设f(x)是定义在实数集R上的奇函数,且在区间(-∞,0)上是增函数,又f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a的取值范围。 抽象函数 例4: *
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