定积分的变数变换.ppt

積分 4.1 面積和距離 4.2 定積分 4.3 定積分的計算 4.4 微積分基本定理 4.5 變數變換法 4.1 面積和距離 定義 若S為連續函數 f 的曲線下方的區域，則 S 的面積A為近似矩形的面積的極限： 4.2 定積分 定積分的定義: 若 f 為定義在[a, b]上的一個函數，當極限 存在時，就稱為 f 從a到b的定積分。當極限存在時，即 f 在[a, b]是可積 (integrable) 的。 積分其實就是總和的極限。在 中，f (x)為被積函數(integrand)，a 和 b 為積分極限(limits of integration)，其中 a 是下極限(lower limit)， b 則是上極限(upper limit)。 求積分的計算過程也稱為積分(integration)。 定理: 如果 f 在[a, b]可連續，或者只有有限多的跳躍不連續點，則 f 在[a, b]也是可積的；也就是說定積分 存在。 定理: 如果 f 在[a, b]可積，則 其中 而 中點法則: 其中 而 的中點 積分的性質: 假設下列的積分都存在，則 其中c是一常數 其中c是一常數 積分的比較性質: 若a≦ x ≦b 時，f(x) ≧0，則 若a≦ x ≦b 時，f(x) ≧g(x)，則 若a≦ x ≦b 時，若m≦f(x) ≦M 時，則 4.3 定積分的計算 取值定理: 若 f 為定義在[a, b]上的一個連續函數，則 其中F是 f 的一個反導數，也就是說F’= f。 f 的反函數以∫f(x)dx來表示 ，稱為 f 的不定積分(indefinite integral)。 表示 定積分 是一個數值，而不定積分∫f(x)dx 則是一組函數。 兩者之間的關係來自於取值定理 ：如果 f 在[a, b]是連續的，則 不定積分公式 4.4 微積分基本定理 ㄧ函數 y=f(t) 在區間[A,B]之下的面積為g(x)，可寫作 微積分基本定理: 若 f 在[a, b]連續，則用積分定義的函數 也是 f 的一個反導數，對a < x < b都滿足g’ (x) = f (x)。 1. 2. ，其中F是 f 的任一個反導數，也就是F’= f。 f 在[a, b]的平均值就定義為 積分均值定理: 如果 f 在[a, b]連續，總是可以在[a, b]找到一個數c滿足 或者說 4.5 變數變換法 如果u =g (x)在區間 I 上可微分，而 f 在 I 上連續，則 定積分的變數變換: 如果g’在[a, b]中連續，而 f 在u= g (x)的值域也是連續的，則 對稱函數的積分:　 假設 f 在[-a, a]連續 (a)如果 f 是偶函數[f (-x)=f (x)]，則 (b)如果 f 是奇函數[f (-x)=-f (x)]，則 NKFUST IPEL National Kaohsiung First University of Science and Technology Infomechatronics and Power Electronics Lab. Chapter 4 積分 微積分 S用8個矩形估計 表示相加 表示到i=n結束 表示從i=m開始 ò b a f(x) dx≧0 ò b a f(x) dx≧ g(x) dx ò b a ò b a m(b-a) ≦ f(x) dx ≦ M(b-a) ] b a b a dx x f dx x f ) ( ) ( ò = ò ) 1 ( 1 1 - 1 + + = + n c n x dx x n n C x x