第三讲-黎卡提方程及LMI.ppt

* * 控制领域发展现状 控制理论发展 现代控制理论 自20世纪50年代，现代控制理论飞速发展，在随后工业应用中 （1）描述物理系统的解析模型复杂 （2）模型不能精确刻画 对于此类复杂的不确定性系统的分析与综合，引出一个全新的 领域：参数不确定性系统的鲁棒性能分析与综合问题。它是近 20年以来，国际自动控制界最活跃的研究领域之一。提出诸如 H无穷，H2,u方法等全新的结果。 经典控制理论 控制领域发展现状 求解方法存在问题 克服Riccati缺陷 Lyapunov 控制问题转化求解 提前设定参数 控制问题转化求解 Matlab工具包 Riccati方程（早期） LMI(20世纪90年代) 在时域中研究此类鲁棒不确定性问题，主要理论基础是Lyapunov稳定性理论 控制领域发展现状 Riccati 方程处理方法 在过去的10 余年内,由于线性矩阵不等式(LMI) 的优良性质以及解法的突破,使其在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用。在此之前,绝大多数的控制问题都是通过Riccati方程或其不等式的方法来解决的。但是解Riccati 方程或其不等式时,有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整。有时,即使问题本身是有解的,也找不出问题的解。这给实际应用问题的解决带来极大不便,具有很大的保守性. Linear Matrix Inequality处理方法 线性矩阵不等式方法给出了问题可解的一个凸约束条件, 因此, 可以应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解, 不需要预先调整任何参数和正定对称矩阵, 大大降低了间题求解的保守性和方便性。同时这种凸约束条件的任意一个可行解都是满足设计要求的控制器, 这一性能在求解系统的多目标控制问题时是特别有用的. 其中： A,B,Q=QT>0, R=RT>0是给定的适当维数的常数矩阵. 在一些控制问题中，经常遇到二次型矩阵不等式： 可以将矩阵不等式的可行性问题转化成一个 等价的矩阵: 线性矩阵不等式的确定 ： MATLAB中的LMI工具箱：MATLAB中的LMI工具箱可以处理 具有以下一般形式的线性矩阵不等式: 式中 ， 是具有一定结构的矩阵变量， 左、右外因子N和M是具有相同维数的给定矩阵，左、右内 因子L(.)和R(.)是具有相同分块结构的对称块矩阵。 注：在线性矩阵不等式的描述中，左边总是指不等式较小的 一边，例如X>0，X是不等式的右边，0是不等式的左边，常 表示为0<X。 那么确定这个线性矩阵不等式的命令有 lmivar和lmiterm， 返回到这个线性矩阵不等式系统的命令用 getlmis， 储存在机器内部的线性矩阵不等式系统的名称，即 内部表示命令lmisys。 lmivar用来定义矩阵变量： lmiterm则描述了每一个线性矩阵不等式中各项的内容。 LMI工具箱提供了用于求解如下3个标准问题的 线性矩阵不等式求解器: (1)可行性问题，对应的求解器函数feasp( )的一般表达式如下: [tmin,xfeas] =feasp(lmisys,options,target) 求解器feasp的输入变量target为tmin设置了目标值，使得只要tmin< target，则优化迭代过程就结束。options为迭代过程中 的一些控制参数。 求解器feasp( )是通过求解如下的一个辅助凸优化问题 min t s .t . 来求解线性矩阵不等式系统lmisys的可行性问题 (2) 具有线性矩阵不等式约束的一个线性目标函数的最小化问题，对应的求解器函数mincx( )的一般表达式如下: [copt,xopt] =mincx(lmisys,c,options,xinit,target)， 向量c和决策变量向量x有相同维数 。 xinit是最优解xopt的一个初始猜测。 target是一个设定目标，只要某个行的x满足 求解过程就停止。 求解器 mincx( )求解的优化问题如下 s . t . 这是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数的 最小化优化问题。 (3) 广义特征值的最小化问题： 对应的求解器函数gevp的一般表达式如下: [lopt,xopt]=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target), gevp给出了优化问题的全局最小值lopt和决策向量x的最优解xopt。 包含 的线性矩阵不等式系统称为线性分式约束。 nlfc为线性分式约束个数。 令可行解的初始值为 当可行解 满足