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第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1 向量及其线性运算 7.1-1 向量概念 称只有大小的量为数量或标量，而称既有大小、又有方向的量为向量或矢量；称向量的 r 大小为向量的模．向量一般用一个小写的黑体字母来表示，如a, b或 a ，向量a的模通常表 r 示为|a|或 a ．模等于 1 的向量称为单位向量，记作e；模等于零的向量称为零向量，记作o r 或0 ，零向量的方向可以是任意的．向量的相等, 即a=b意味着|a|=|b|且它们的方向相同， 即平移向量a,b到同一个始点后，a,b是重合的；a= − − b意味着|a|=|b|且它们的方向相反，称 b 为b的相反向量． uuur 在几何上若以A ,B 分别表示一个向量 a 的起点和终点，则a 也可以表示为有向线段AB ， uuur uuur 此时AB 的长即表示向量 a 的大小，即|a|=|AB |= AB . 空间向量是一个量，与其在空间的位置无关，因此像平面向量可以在平面上自由移动 一样，空间向量也可以在空间中自由平移． 7.1-2 向量的线性运算 1. 向量加减运算定义及性质 规定两个向量的加法法则： 将两个向量 a 和 b 的起点移放在一起，并以 a 和 b 为邻边作 b a+b b 平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为向量 a 与 b 的和向 量，记为 a+b；或以向量 a 的终点作为向量 b 的起点，则由 a 的 a 起点到 b 的终点的向量亦是 a 与 b 的和向量． F2 F 在力学中，求作用在同一质点的两个不同方向力F ,F 的合 1 2 力 F 时，所采用的平行四边形法则或三角形法则． F1 推广 任意有限个向量相加．如图所示，OD 就是四个向量 a,b,c,d 的和向量，即 d c OD =a+b+c+d． 在求多个向量的和向量时，采用首尾相接方法，显然要优于 a+b+c+d b 平行四边形法． a 向量的减法a-b，实际上是 a 与 b 的负向量的和，因此从减 向量终点连向被减向量终点的向量，就是差向量a-b；或者说差 b a-b 向量是以a 和 b 为邻边作平行四边形的反对角线向量． 显然对于任何向量 a 都有 a+0=a -b a 向量的加法满足以下运算律： a+(-b) ①交换律 a+b=b+a ； ②结合律(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c． 高等数学同济五版第七章