[理学]线性代数二次型讲义.ppt

第六章 二次型 于是 令 则所求的满秩线性变换为 将原二次型化为 小结 比较例1和例3的结果可以看到，用不同的满 秩线性变换化二次型为标准形，其标准形一 般是不同的，但有两点是相同的： 标准形中平方项的项数，即二次型的秩. 标准形中正平方项和负平方项的项数. 二次型及其矩阵表示 矩阵合同 在平面解析几何中 ，为便于识别曲线的类型、研究曲线的几何性质 ，可以 坐标变换 （二次曲线） （标准型） 二次型定义及其矩阵表示 定义1 含有n个变量 的 称为二次型. 二次齐次函数 记 则二次型可记作 其中A为对称矩阵（ ）. 二次型 用矩阵记号写出来 因此 二次型 一一对应 对称矩阵 任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵； 反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个 二次型. 我们把对称矩阵A叫做二次型f 的矩阵， 也把 f叫做对称矩阵A的二次型. 对称矩阵A的秩就叫做二次型 f 的秩. 例1 已知二次型 解 二次型 f 的矩阵为 由 知 ，即 的秩为2，求参数 c . 矩阵的合同 对于二次型，我们讨论的主要问题是： 寻求可逆的线性变换 或 使二次型只含平方项(二次型的标准形或法式), 也就是将线性变换（1）代入二次型， 能使 定义2 （线性变换定义的扩充） 的线性变换（1）的系数矩阵为 记从变量 到变量 当C是满秩矩阵时，称（1）为满秩(线性)变换（或非退化变换）. 当C是降秩矩阵时，称（1）为降秩（线性）变换（或退化变换）. 当C是正交矩阵时，称（1）为正交变换. 定义3 设 为两个 阶方阵 定理1 若矩阵 与 合同，则 与 等价， 合同性质：（1）反身性 （2）对称性 （3）传递性 如果存在可逆矩阵 ，使 则称矩阵 与 合同，或 合同于 . 且 例2 设 和 为实对称矩阵，则由 与 相似可推出 与 合同，反之不然. 证 由 与 相似可知， 与 有相同的特征值 又由 和 都是实对称矩阵可知， 存在正交矩阵 和 使得 和 都与对角矩阵 相似， 即 从而 记 ，则由 有 于是 ，即 与 合同. 反之，虽然 都是实对称矩阵，且取 有 ，即 与 合同. 但由于对任意可逆矩阵 故 和 不相似， 反例说明，在所给条件下合同不一定相似. 二、化二次型为标准形 化二次型为标准形，就是对实对称矩阵 （1）正交变换法 定理1 对于二次型 ， 寻找可逆矩阵 ，使 成对角矩阵. 总有正交变换 ，将 化为标准形 是 的矩阵 的特征值 例1 求一个正交变换，化二次型 为标准形,并指出方程 表示何种二次曲面 解 二次型 的矩阵为 它的特征多项式为 于是 的特征值为 当 时，解方程组 得基础解系 单位化即得 当 时，解方程组 得基础解系 将 正交化，令 再将 单位化， 令 于是所求的正交变换为 化二次型为标准形 显然， 表示的二次曲面为单叶双曲面. （2）配方法 例2 用配方法化二次型 为标准形, 并求所用的变换矩阵. 解 先将含 的项配方,有 再对后面含有 的项配方，有 令 即 所求的满秩变换为 相应的变换矩阵为 将原二次型化为标准形 （3）初等变换法 构造 矩阵 ，对 每施以一次 初等行变换，就对 施行一次同种的初等 列变换； 当 化为对角矩阵时， 将化为满秩矩阵 ； 得到满秩线性变换 及二次型的标准形 例3 用初等变换法化例1中的二次型 为标准形，并求所作的满秩线性变换. 解 二次型 的矩阵为