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市场投资的收益和风险模型 李吉志 胡驿姿 胡凯 摘要 本文提出了一个多目标规划的数学模型，解决了市场投资方案的问题，使收益值尽可能大，风险值尽可能小。 为了方便求解，我们把非线性的转化为线性的，并将两个目标函数用加权系数法，引入加权系数，转化为一个目标函数，其中反应的是风险水平。另外，在考虑交易费时，由于有个最小给定值的约束使问题很复杂，为了简化，我们将问题简化为只考虑超过部分的交易费，这样也利于求解。最后，由MATLAB求解出问题的最佳抉择与收益及其风险表： 问题一的投资组合方案如下： 0~0.03 0.04 0.05~0.2 0.21~1 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.9901 0.3690 0.2376 0.0000 0.0000 0.6150 0.3960 0.0000 0.0000 0.0000 0.1080 0.0000 投资银行 0.0000 0.0000 0.2284 0.0000 收益 0.2673 0.2165 0.2016 0.0005 风险 0.0248 0.0185 0.0238 0.0000 问题二给出了投资收益与风险的一般模型： 再将带入模型，按问题一相同思路得出投资组合方案（具体方案见文中）。 关键词：多目标规划 加权系数法 市场投资 一、问题的重述 市场上有n种资产（如股票、债券、…）供投资者选择，某公司有数额为的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出这在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。 购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（=5%） 1、已知n = 4时的由给出的相关数据，试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用给出数据进行计算。 二、模型的假设 1、假设确定相当大，这一条件可以在交易额很小时，忽略交易费； 2、假设投资越分散，总的风险越小，且总体风险可用所投资的资产当中最大的一个风险来度量； 3、假设交易费按购买计算，在不买的情形下当然无须付费； 4、假设同期银行存款利率保持定值不变，且既无交易费又无风险。 三、符号的约定 市场资产数目； 市场资产的种类（其中表示投资银行）； 选择投资的资金比例（其中表示投资银行的资金比例）； 购买的平均收益率； 购买的风险损失率； 购买的交易费率 交易费用； 交易额较低时的交易费用； 总给定的投资资金； 净收益额； 总体风险。 四、模型的建立与求解 （一）问题一的分析、模型的建立与求解 1、问题的分析 该问题为一个多目标规划问题，即要提出一种投资方案，既要收益尽可能大，又要让风险最小。在投资每一种资金的同时，都有着相应的一组数据对应，即收益率 ，风险损失率，交易费率。对于银行来说，。但在考虑交易费时需要分段考虑： 在考虑总体风险时，我们要求值最小，而风险又是在所有投资项目中最大的一个风险来度量，即要求在风险的最大值中找到一组最小值解，实际为一极小极大值问题。两者是对立矛盾的，就要我们在两者之间找到一个合适的投资方案让问题求解。 2、模型的建立 建立多目标规划函数： 约束条件： 3、模型的求解 对于该模型的求解，是比较复杂的，直接求解几乎找不到方法，我们只好将问题进行化简处理，试探求解。 问题的复杂在于交易费有个最小给定值的约束，我们如果有一部分投资额低于给定值时，问题将十分麻烦，将对4种投资各进行两次判断是否达到最低给定值，那么总共的情况就有种。在投资额都超过最低给定值的这种情况下的交易费： 显然数据很小，我们可以忽略掉。在最好的一种方便的情况下，就是4中投资额都超过最低给定值，将使问题清晰，一目了然。然而在假设中为相当大，我们就更有理由将交易费低于给定值的情形忽略，将问题简化为只考虑超过部分的交易费。重新列出为： 此时把当作一个单位量，于是， 现在问题还是比较复杂，我们将两个目标函数用加权系数法，引入加权系数。转化为一个目标函数： 反应的是风险水平，时投资者只顾收益不顾风险，这样，收益可能达到最大，但是风险也达到最大；时投资者总是担心风险，不会考虑收益，这样就会把投资全部放在银行。 对于第二个目标函数，是一个非线性的，解决十分麻烦，但是该式总有一个最大值，则有，于是可以把该式转化为一个约束条件让问题简便。 上述线性规划模型，容易由MATLAB优化工具箱的linprog线