海文考研2014高数上第一讲 函数、极限与连续课件.ppt

函数与极限 第一讲 极限四则运算法则 题型二、求极限 例1.9 (A) 存在等于0; (B) 存在但不一定等于0; (C) 一定不存在; (D)不一定存在。 例1.10 例1.11 例1.12 求极限 例1.13 求极限 例1.14 设 例1.15 求 * 1.本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的性质，又要能正确的求出各种极限。 一 、重要内容 函数、极限与连续 极限性质：唯一性 求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有： （1）利用极限四则运算法则及函数的连续性 函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内连续。 （2）利用两个重要极限，两个重要极限即 （3）利用洛比达法则及泰勒公式求未定式的极限； 罗比达法则：七种未定式极限 罗比达法则： 具有皮亚诺余项的马克劳林公式： 设f(x)在U(0)内有n阶导数，则 常用二阶马克劳林公式： 牢记几个函数展开式： （4）利用等价无穷小代换（常会使运算简化） 无穷小比较： ～ 等价无穷小性质 牢记几组公式： ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 要灵活地记，要记本质！ 等价无穷小替换定理 注1：在求极限过程中，当一个无穷小量与整个函数相乘（除）时，这个无穷小量一定可以用其等价无穷小替换。 注2：在求极限过程中，当一个无穷小量与局部函数相乘（除）时，或这个无穷小与函数相加（减）时，这个无穷小量不能用其等价无穷小替换。 （5）夹逼定理： 注1 夹逼定理的条件1中的“<”可以换成“<=”. 注2 夹逼定理的条件2中的两个极限，任意一个可以是常数函数的极限。 注3 夹逼定理的特殊情况是数列极限形式。 （6）先证明数列极限存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”准则）,再利用关系式求出极限. （7）利用定积分求某些和式极限 （8）利用导数定义 （9）利用级数的收敛性证明数列的极限为零.（数一、数三） 这里需要指出的是题型与方法并不具有确定关系，一种题型可以有几种方法计算法，一种方法也可以用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体分析，方法要灵活运用。 2. 由于函数连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数间断点类型等问题本质上仍然是求极限，因此这部分也是重点。 3. 在函数这一部分内，重点是复合函数分段函数以及函数记号运算。 通过历年试卷归类分析，本章常见典型题型有： （1）直接计算函数的极限值，或给定函数的极限值，求函数表达式中的常数； （2）讨论函数的连续性、判断间断点的类型； （3）无穷小比较； （4）讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根； （5）求分段函数的复合函数. 最后，讲一讲这一章重要的四个定理以及推论。 （I）有界性定理 （II）零点定理： 推论： （III）最值定理： 成立。 （IV）介值定理： 题型一、函数及相关性质 二 、常见的典型例题 * *