高等数学 全套课件.pptx

高等数学主编 冯海亮出版社 出版社 理工分社 第1章 函数、极限与连续 第6章 多元函数微分学 第7章 二重积分 第2章 一元函数微分学 第8章 无穷级数 第3章 不定积分 第4章 定积分及其应用 第9章 常微分方程 第5章 向量代数与空间解析几何 附录第1章 函数、极限与连续　函数是高等数学的主要研究对象．所谓函数关系，就是变量之间的对应关系．极限方法是研究变量的一种基本方法．本章介绍函数、函数的极限和函数的连续性等概念．１．１　函数的基本概念１.１.１　集合与区间（１）集合 在数学中，把任意指定的有限多个或无限多个事物所组成的总体称为一个集合，通常用大写英文字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…来表示，组成集合的事物称为该集合的元素．若事物ａ是集合Ｍ的一个元素，就记ａ∈Ｍ（读作ａ属于Ｍ）；若事物ａ不是集合Ｍ的一个元素，就记ａＭ（读作ａ不属于Ｍ）；集合有时也简称为集．注意 ①对于一个给定的集合，要具有确定性的特征，即对于任何一个事物或元素，能够判断它属于或不属于给定的集合，二者必居其一． ②对于一个给定的集合，其中的元素应是互异的，完全相同的元素，不论数量多少，在一个集合里只算作一个元素，就是说，同一个元素在同一个集合里不能重复出现． ③若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集；不含任何元素的集合称为空集，记为，空集是任何集合的子集．（２）集合的表示法表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种．列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号｛｝括起来，这种方法称为列举法．例如，方程ｘ2＋２ｘ－３＝０根的集合Ａ，可表示为Ａ＝｛－３，１｝．描述法：设Ｐ（ａ）为某个与ａ有关的条件或法则，将满足Ｐ（ａ）的1．2　数列的极限在上节中讨论了变量与变量之间的函数关系，本节讨论一类特殊函数（数列）当其自变量（n）按某种方式变化（n→∞）时，其函数值的变化趋势问题，从而建立数列极限的概念．1．2．1　数列的概念 极限是微积分中最基本的概念，极限方法是解决近似与精确这一对矛盾的基本方法，它是由求某些实际问题的精确解而逐渐产生的．（1）问题的引出 引例1　我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用． 设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为a1；再作内接正十二边形，其面积记为a2；再作内接正二十四边形，其面积记为a3；……循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正６×2n－1边形的面积记为an（n∈n），这样，就得到一系列内接正多边形的面积：a1，a2，a3，…，an，它们构成一列有次序的数．当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以an作为圆面积的近似值也越精确．但是无论n取得如何大，只要n取定了，an终究只是多边形的面积，而不是圆的面积．因此设想n无限增大（记为n→∞，读作n趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时an也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积．这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）a1，a2，a3，…，an，…当n→∞时的极限．在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积．引例2　战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一第2章 一元函数微分学　导数与微分是微分学的两个基本概念，其中导数反映了函数相对于自变量的瞬间变化的程度，而微分则是指当自变量有微小变化时，函数的近似变化值．本章主要讨论导数与微分的概念、计算方法和它们的基本应用．2．1　导数的概念2.1.1　导数概念的引出（1）曲线上一点的切线斜率 在初等数学中，圆的切线可定义为“与圆只有一个交点的直线”．但是对于一般的曲线，用“与曲线只有一个交点的直线”来定义切线就不一定合适．例如，对于抛物线y＝x2，在原点Ｏ处只有x轴是它在原点Ｏ处的切线，但与它只有一个交点的y轴就不是切线．下面给出切1．求下列函数的二阶导数．２．４．1　微分的概念在实际问题中，除了须考虑函数在一点的变化率外，常常还要计第3章 不定积分第4章 定积分及其应用　第3章讨论了一元函数积分学的第一个问题，即求原函数的问题．本章讨论定积分，它是积分和式的极限，属于积分学的第二个基本问题．定积分与不定积分是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，牛顿布尼兹公式建立了这种联系，它是一元函数微积分中一个最基本的公式，定积分在实际中有着广泛的应用．4．1　定积分的基本概念4．1．1　问题的引出 初等数学已经讨论了直边图形面积的计算问题，那么如何求任意曲边图形的面积呢？为了解决这一问题，先讨论最简单的曲边图形，即曲边梯形面积的计算问题．引例1　曲边梯形的面积第5章 向量代数与空间解析几何　空间解析几