第1章 基本运算_.ppt

第一章 基本数学运算 1.1 插值 x x0 x1 x2 …… xn y y0 y1 y2 …… yn 给定一组离散的数据 寻找一个解析形式的函数 φ(x)， 满足 φ(xi) = yi, i=0,1,2,…, n 问题的提出 最常用的函数形式是多项式，称为多项式插值。 x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 最直观的方法——以二阶为例 设插值函数为 带入数据，得 离散数据为 解这个方程，即可得到相应系数 a0, a1, a2。 N阶呢 x x0 x1 …… xn y y0 y1 …… yn 离散数据为 带入数据，得 当n很大时，求解这个方程计算量太大，需另寻它法 拉格朗日插值——从一阶说起 x x0 x1 y y0 y1 插值方程为一直线方程，可表示为 对离散数据 为了推广到高阶，将其写成更对称的形式 x0 x1 A0 (x) 1 0 A1 (x) 0 1 满足 其中 过高阶的插值可能导致严重的振荡行为，即Runge现象。 是否阶数越高，效果越好？ 怎样改进？ 例：连续函数 可以看出，L10(x)的误差在区间两端非常大 在区间[-5,5]上取等距插值节点 讨论 用分段低次插值，最简单的就是分段线性插值 解决的办法——分段插值 区间[a,b] 有离散点：a= x0< x1< …< xn=b，及其对应的函数值 yi ( i=0,1,…,n) ，如果函数S(x)满足条件： (2) 在每个子区间[xi , xi+1] ( i=0,1,…,n-1)上是三次多项式 则称S(x)是y = f(x) 的三次样条插值函数 确定S(x)需要4n个条件, 而我们只给出了4n-2个条件 端点函数值：2个 内节点函数值及连续条件：2(n-1) 个 内节点一、二阶导数连续条件：2(n-1) 个 解决之道——在每个区间上，不是用线性函数而是用三阶多项式进行插值。 样条插值 需补充2个边界条件，根据实际情况有不同的取法 例如，可取周期边界条件： 样条插值的例子 Matlab 指令 interp1(X, Y, Xi， method) X, Y 数据点及其函数值 Xi 待求的数据点 method 插值方法，可取’linear’,’spline’等 返回值 数据点Xi的函数值 1.2 拟合 给定一组离散数据： 要求一个函数 p(x) ，按照最小二乘原理，使得 达到最小值，这一方法被称为拟合，其中 p(x) 称为拟合曲线。 x x1 …… xn y y1 …… yn 则问题变为求 ak (k=0,1,2,…,m), 使得 一种常见的拟合曲线为多项式拟合，即选取拟合曲线 p(x) 为m次多项式 极小。 由多元函数取极值条件，得 这就是正则方程。解这个方程即可得到拟合函数的形式。 当最高幂次为1时，即为最小二乘法的拟合直线，正则方程简化为 Matlab 指令 polyfit(X, Y, N) X, Y 数据点及其函数值 N 拟合多项式的最高幂次 返回值 为按降幂排列的多项次系数 例子 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xi -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 yi -0.2209 0.3295 0.8826 1.4392 2.0003 2.5645 3.1334 3.7601 4.2836 设所求的最小二乘二次拟合多项式为 相应的正则方程为 其解为a0 = 2:0034; a1 = 2:2625; a2 = 0:0378，所求多项式为 实例——密立根油滴实验 指数拟合 如果数据点的分布近似于指数曲线，则可考虑用指数函数 去拟合数据。 同时对数据 yi 也取对数得 Inyi, 利用数据组 (xi, Inyi) 求出最小二乘拟合直线 。再取指数即得到原数据组的最小拟合指数 对上式取对数 例子 ti 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Ii 3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56 已知一发射源的发射强度具有指数形式 I=I0e-αt, 现有一组观测数据如下 With four parameters I can fit an elephant, and with five I can make him wiggle his trunk. 关于拟合，要提醒的 1.3 数值微分 为什么要学习数值微分？ 我们碰到的函数往往没有解析形式，例如可能是如下数表形式 x 0.1 0.2 0.3