《随机过程及应用》教案-习题课六答案.docVIP

设随机过程相互独立，为正常数.试证：随机过程为平稳过程，且均值具有均方遍历性. 证明： （2） （3） 由（3）得为二阶矩过程， 再由（1）（2）得为平稳过程。 从而的均值有均方遍历性。 相互独立，为正常数.试证：随机过程为平稳过程，且具有关于均值的均方遍历性. 证明： （2） （3） 由（3）得为二阶矩过程， 再由（1）（2）得为平稳过程。 故的均值具有均方遍历性。，其中，，是相互独立的随机变量，， ，，，试讨论的平稳性和各态历经性。 解： （2） (3) 由（1）- (3) 为平稳过程。 因此的均值具有遍历性。 因此的自相关函数不具有遍历性。 设，其中和相互独立，都服从，证明：随机过程为严平稳正态过程。 证明：为正态过程，故只需证明为宽平稳过程。 为宽平稳过程。 又 ∵ 为正态过程。 ∴ 为严平稳过程。 ，其中，，为相互独立的实随机变量，其中A的均值为2，方差为4，，且，，令为常数。试讨论的平稳性及均值的均方遍历性。 解： 由（1）-（3）时平稳过程。 故的均值不具有遍历性。 设，其中是周期为T的连续函数，，称为随机相位周期过程，试证：随机相位周期过程为平稳过程. 证明： 由（1）-（3）为宽平稳过程。满足条件 ， 则称是周期为T的平稳过程。试证平稳过程是周期T的平稳过程的充分必要条件是其自相关函数为周期为T的周期函数。 证明：充分性 因为故从而有 故 从而 是周期T的平稳过程。 必要性 从已知条件 ， 可得 ； 由许瓦兹不等式， 从而 展开并移项即得 即是周期为T的周期函数。 证明随机过程 是平稳过程的充要条件是和不相关的随机变量，且 证明：必要性 设为平稳过程，则 ，即 ，对任意成立。 故有 又由，即 整理得 上式对任意成立。 故有 由得 又因为 故不相关。 充分性 由（1）-（3）为平稳过程。 设为常数，为随机变量，其特征函数为，令 试证：当且仅当为平稳过程. 证明：“” 由 ，得 即，故 故为平稳过程。 “” 设为平稳过程，则 对均成立。 故 所以 由 对任意均成立。 从而 所以 设二阶矩过程有均值函数，协方差函数，令 试证：随机过程为平稳过程. 证明： 故为平稳过程。 设是参数的泊松过程，令 证明：为平稳过程. 证明： 由（1）-（3）为平稳过程. 设A是任意的随机变量，是与A相互独立的，且在上服从均匀分布的随机变量，令是常数，试证明是严平稳过程。 证明 由于服从上的均匀分布，因而的概率密度函数为 欲证是严平稳过程，只需证明 设 及， 因此是严平稳过程。 Poisson随机电报信号过程,其中，是参数为的齐次Poisson过程，与相互独立。证明是严平稳过程。 证明：记,则为复合Poisson过程， 为平稳独立增量过程，从而为Markov过程。 对任意正整数k，及任意，和任意， 而 故 从而是严平稳过程。 设是一个零均值的平稳过程,且不恒等于一个随机变量,问是否仍是平稳过程. 解 设 则 故不是平稳过程. 有一随机游动过程其中，相互独立同分布，讨论的平稳性. 解 （1）当时，不是平稳过程。 （2）当时， 均值函数 自相关函数 一般的， 故不是平稳过程。 由（1），（2）不是平稳过程。