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２００２年度前期「微分方程式」 　 理学部数理学科３年 　 担当：内藤久資 【講義のイントロダクションに代えて】 ● 微分方程式とは １７世紀にニュートン (Issac Newton, 1642-1727) は物体の運動を理解する手法として, 微積分法を開発し た. ニュートンの運動学では, 運動する物体の加速度は物体に働く力に比例（比例定数をその物体の「質量」 と呼ぶ）するという, 「ニュートンの運動方程式」によって物体の運動が決定される. 空間内に一つの座標 系を決め, 各時刻での物体の位置を関数として表したとき, 各時刻での物体の加速度は, 位置の関数を時間 によって２度微分することによって得ることができる. したがって, 「ニュートンの運動方程式」は, 「位 置の関数の２階微分と各時刻で物体に働く力の関数が比例する」という, 関数の間の関係式に他ならない. 各時刻で物体に働く力の関数が既知であるとき, 位置の関数を知るためには, その２階微分を含む関数の間 の方程式を解くことになり, 今日で言う「微分方程式」の典型例になっている. このように, 微分方程式は ニュートンによる微積分法の開発と同時に始まり, それ以降の解析学の主要なテーマとなってきた. １７世紀から１８世紀にかけては, 種々の微分方程式をどのように解くかという研究が盛んに行われ, 自 然現象を微分方程式の解として記述する努力が進められてきた. しかし, １９世紀になると, 微分方程式の 解を書き下すという意味では「微分方程式は必ずしも解くことができない」ことがわかり, 微分方程式の解 を書き下すことなく解の性質を探る（微分方程式の定性的な理論）研究が発展していく. このように, 自然科学や工学を扱う上で現象を数学的に記述する方法として, 微分方程式は欠かすことの 出来ない数学として用いられてきた. １９世紀には, 物体の運動は「ニュートンの運動方程式」を用いて, 「ある時刻での状態を決定すれば, その先の任意の時刻での状態も完全に決定される」という, 決定論的な世 界観（「ラプラスの悪魔」と呼ばれる考え方）が提示されるなど, 少なくとも１９世紀までは, 微分方程式は 全ての自然現象を決定づける言葉であると信じられてきた. このような世界観は, 量子力学における不確定 性原理の出現によって崩壊し, 現在では, 極めてミクロなレベルでの自然現象などは, 必ずしも微分方程式と いう言葉で記述されてはいないことがわかってきている. しかし, ２１世紀の現在であっても, マクロな自 然現象?社会現象を記述するための数学として, 微分方程式は重要なモデルを提示している. 一方で, 数学の発展の中で微分方程式はどのように