(高二数学正弦余弦定理测试题.docxVIP

余弦定理训练题1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是(　)A．8　 B．217C．62 D．219解析：选D.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝219.2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sin A的值为(　)A.5719 B.217C.338 D．－5719解析：选A.c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19.∴c＝19.由asin A＝csin C得sin A＝5719.3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2＋4a2－a22?2a?2a＝78.答案：784．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解：法一：根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.∵B＝60°，2b＝a＋c，∴(a＋c2)2＝a2＋c2－2accos 60°，整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.∴△ABC是正三角形．法二：根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C.又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，∴C＝120°－A，∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，整理得sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，C＝60°.∴△ABC是正三角形．课时训练一、选择题1．在△ABC中，符合余弦定理的是(　)A．c2＝a2＋b2－2abcos CB．c2＝a2－b2－2bccos AC．b2＝a2－c2－2bccos AD．cos C＝a2＋b2＋c22ab解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．2．(2011年合肥检测)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是(　)A.1213　 B.513C．0 D.23 解析：选C.∵c＞b＞a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝0.3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是(　)A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．不能确定解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC是钝角三角形．4．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为(　)A.π3 B.π6C.2π3 D.π3或2π3解析：选C.由已知得b2＋c2－a2＝－bc，∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，又∵0＜A＜π，∴A＝2π3，故选C.5．在△ABC中，下列关系式①asin B＝bsin A②a＝bcos C＋ccos B③a2＋b2－c2＝2abcos C④b＝csin A＋asin C一定成立的有(　)A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立．对于②由正弦定理知sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，则不一定成立．6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　)A.14 B.34C.24 D.23解析：选B.∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a?2a＝34.二、填空题7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.解析：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB?AC?cosA，即49＝25＋AC2－2×5×AC×(－12)，AC2＋5AC－24＝0.∴AC＝3或AC＝－8(舍去)．答案：38．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42＋52－2×4×5×12＝21，∴第三边长是21.答案：219．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________．解析：由正弦定理，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8.不妨设a＝5k，b＝7k，c＝8k，则cos B＝5k2＋8k2－7k22×5k×8k＝12，∴B＝π3.答案：π3三、解答题10．已知在△ABC中，cos A＝35，a＝4，b＝3，求角C.解：A为b，c的夹角，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，∴16＝9＋c2－6×35c，整理得5c2－18c－35＝0.解得c＝5或c＝－75(舍)．由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝1