奥数 比和比例奥数 比和比例.doc

六年奥数综合练习题十二答案（比和比例关系） 比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解. 　　这一讲分三个内容： 　　一、比和比的分配； 　　二、倍数的变化； 　　三、有比例关系的其他问题. 一、比和比的分配 　　最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比. 　　例1 甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比. 　　解：设甲的周长是2. 　　　　 　　甲与乙的面积之比是 　　 　　答：甲与乙的面积之比是864∶875. 　　作为答数，求出的比最好都写成整数. 　　例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7. 　　求上底AB与下底CD的长度之比. 　　解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等. 　　三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积 　　=（10-7）∶（7×2）= 3∶14. 　　答：AB∶CD=3∶14. 　　两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点. 　　例3 大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比. 　　解：大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4， 　　中杯与小杯容量之比是4∶3， 　　大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3. 　　∶ 　　=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3） 　　=44∶75. 　　答：两者容量之比是44∶75. 　　把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子. 　　甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4， 　　3∶5=3×7∶5×7=21∶35， 　　7∶4=7×5∶4×5=35∶20， 　　甲∶乙∶丙=21∶35∶20. 　　花了多少钱？ 　　解：根据比例与乘法的关系， 　　 　　连比后是 　　甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2 　　=32∶48∶63. 　　 　　答：甲、乙、丙三人共花了429元. 　　例5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙 　　 　　，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？ 　　解：设甲的长度是6份. 　　 　　∶x=5∶4. 　　 　　乙与丙的长度之比是 　　而甲与乙的长度之比是 6∶5=30∶25. 　　甲∶乙∶丙=30∶25∶26. 　　答：甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26. 　　 　　于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段. 　　例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？ 解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是 　 　　答：这些糖果每千克平均价是27.5元. 　　上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有： 　　事实上，有稍简捷的解题思路. 　　解二：先求出这三种糖果所买数量之比. 　　不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10. 　　平均数是（15+11+10）÷3=12. 　　单价33元的可买10份，要买12份，单价是 　　下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量. 　　例7 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32， 　　 　　解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此 　　 　　 　　 　　例8 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？ 　　解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量. 　　三人工作效率之比是 　　他们分别需要完成的工作量是 　　 　　所需时间是 　　700×3=2100分钟）=35小时 . 　　答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时. 　　这是三个数量按比例分配的典