奥数 格点与面积奥数 格点与面积.doc

学科：奥数 教学内容：第六讲 格点与面积 生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。先来介绍什么是“格点”。见下图： 这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。图中带阴影的小方格就是一个面积单位。 借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。 例1 计算下图中各图形的面积： 分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。 解答： （1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。 （2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。 （3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。 （4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。 （5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。长方形的面积为（2＋4）×3=18，而梯形的面积为长方形的面积的一半。所以梯形的面积为：（2＋4）×3÷2=9。 （6）将图中梯形用虚线分成3块，它包含有5个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有6个面积单位，所以它的面积为6。 例2 计算下面这个格点多边形的面积。 分析：这是一个不规则的多边形，不能直接求出它的面积。可用长方形的面积减去4个直角三角形的面积，如图1所示；另外还可将该四边形分割成几块，如图2。 解答： 方法一：3×4－（2×1÷2＋2×1÷2＋2×2÷2＋3×1÷2）=6.5（面积单位） 方法二：1×2÷2＋1×3÷2＋1×1÷2＋3×1÷2＋1×2=6.5（面积单位） 例3 相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。 分别连接各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列的规律？ 算出各图形的面积。找出图形外面一周的点子数、中间的点子数与面积三者之间的关系。 分析：仔细观察图形： 横看，从左往右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数不变； 竖看，从上往下图形一周的格点数不变，中间的格点数逐渐增多。 图形一周的格点数、中间的格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可以将图形按中间没有个点、中间有一个格点和中间有两个格点进行分组列表分析。 第（1）组 图形编号 ① ② ③ ④ 一周格点数 4 6 8 14 中间格点数 0 0 0 0 面积（平方厘米） 1 2 3 6 中间没有格点时，面积=一周格点数÷2－1 第（2）组 图形编号 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 一周格点数 4 6 8 14 中间格点数 1 1 1 1 面积（平方厘米） 2 3 4 7 中间有一个格点时，面积=一周格点数÷2＋（1－1） 第（3）组 图形编号 ⑨ ⑩ 一周格点数 4 6 8 14 中间格点数 2 2 2 2 面积（平方厘米） 3 4 5 8 中间有两个格点时，面积=一周格点数÷2＋（2－1） 解答：（1）中间格点数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增加；当一周的格点数相同时，图形的面积同样随着中间的格点数增加而增加。 （2）各图形的面积见表格。 各图形面积的大小与一周的格点数、中间的格点数都有关系，格点图形的面积计算公式是： 图形面积=图形一周的格点数÷2＋（中间格点数－1） 说明：格点图形的面积求法很灵活，不要死记公式，要具体题目具体研究。 例4 下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积： 分析：这是一个组合图形，面积可分成几个部分来求。本图可分为两个三角形和一个长方形三部分。每一部分面积的求法，因图而异。如两个三角形需要扩展成长方形再求面积，而长方形只要直接数单位面积即可。 解答：左边三角形面积=4×4－1×2÷2－4×3÷2－4×2÷2=5； 右边三角形面积=4×4－1×3÷2×2－4×4÷2－1×1=4； 长方形的面积为6×2=12； 所以礼盒面积为：5＋4＋12=21 说明