奥数 和倍问题奥数 和倍问题.doc

奥数专题精讲 第 讲 DSE 金牌数学专题系列 ---和倍问题 学生姓名： 一 导入 二 知识回顾 　　和倍应用题的基本“数学格式”是： 　　已知大、小二数的“和”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。 　　上面的问题中有“和”，有“倍数”，所以叫做和倍应用题。为了清楚地表示和倍问题中大、小二数的数量关系，画出线段图如下： 　　从线段图知，“和”是小数的(倍数+1)倍，所以， 　　小数=和÷(倍数+1)。 　　上式称为和倍公式。由此得到 　　大数=和-小数， 　　或 大数=小数×倍数。 　　例如，大、小二数的和是265，大数是小数的4倍，则 　　小数=265÷(4＋1)=53， 　　大数=265-53=212或53×4=212。 三 专题讲解 例1 甲、乙两仓库共存粮264吨，甲仓库存粮是乙仓库存粮的10倍。甲、乙两仓库各存粮多少吨？ 　　分析：把甲仓库存粮数看成“大数”，乙仓库存粮数看成“小数”，此例则是典型的和倍应用题。根据和倍公式即可求解。 解：乙仓库存粮 264÷(10＋1)＝24(吨)，甲仓库存粮 　　264-24=240(吨)， 　　或 　　24×10＝240(吨)。 答：乙仓库存粮24吨，甲仓库存粮240吨。 例2 甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发，相向而行，2时后两车相遇。已知甲车的速度是乙车速度的2倍。甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？ 　　分析：已知甲车速度是乙车速度的2倍，所以“1倍”数是乙车的速度。现只需知道甲、乙汽车的速度和，就可用“和倍公式”了。由题意知两辆车 2时共行 360千米，故1时共行 360÷2＝180(千米)，这就是两辆车的速度和。 解：乙车的速度为 　　(360÷2)÷(2＋1)= 60(千米/时)， 　　甲车的速度为 　　60×2=20(千米/时)，或180-60=120(千米/时)。 　　答：甲车每时行120千米，乙车每时行60千米。 从上面两道例题看出，用“和倍公式”的关键是确定“1倍”数(即小数)是谁，“和”是谁。例1、例2的“1倍”数与“和”极为明显，其中例2中虽未直接给出“和”，但也很容易求出。下面我们讲几个“1倍”数不太明显的例子。 例3 甲队有45人，乙队有75人。甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队人数的3倍？ 　　分析：容易求得“二数之和”为 45＋75=120(人)。如果从“乙队人数才是甲队人数的3倍”推出“1倍”数(即小数)是“甲队人数”那就错了，从75不是45的3倍也知是错的。这个“1倍”数是谁？根据题意，应是调动后甲队的剩余人数。倍数关系也是调动后的人数关系，即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的3倍。由此画出线段图如下： 　　从图中看出，把甲队中“？”人调入乙队后，(45＋75)就是甲队剩下人数的 3＋1＝4(倍)。从而，甲队调走人后剩下的人数就是“1倍”数。由和倍公式可以求解。 解：甲队调动后剩下的人数为 　　(45＋75)÷(3＋1)＝ 30(人)，故甲队调入乙队的人数为45-30＝15(人)。 答：甲队要调15人到乙队。 例4 妹妹有书24本，哥哥有书53本。要使哥哥的书是妹妹的书的6倍，妹妹应给哥哥多少本书？ 　　仿照例3的分析可得如下解法。 解：兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图书的(6＋1)倍，根据和倍公式，妹妹剩下 　　(53＋24)÷(6＋1)＝11(本)。故妹妹给哥哥书24-11＝13(本)。 答：妹妹给哥哥书13本。 例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个，而小灰兔自己又采了10个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？ 分析与解：这道题仍是和倍应用题，因为有“和”、有“倍数”。但这里的“和”不是 160，而是160－20＋10＝150，“1倍”数却是“小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数”。线段图如下： 　 　　根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇(即“1倍”数) 　　(160-20＋10)÷(5＋1)＝25(个)， 　　故小灰兔原有蘑菇25-10＝15(个)，大白兔原有蘑菇 　　160-15＝145(个)。 　　答：原来大白兔采蘑菇145个，小灰兔采15个。 四 巩固训练 五 提升拓展训练 拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力I