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平面图形周长与面积单元的数学本质、进阶与教学建议

【摘??要】周长与面积刻画了同一平面图形的两种不同度量属性。为破解学生易混淆这两个概念的难题，并以此为载体培养学生的空间观念、推理意识以及问题解决能力，教师重新设计了本单元五个学习进阶的层级，梳理了周长概念建立、面积公式推导以及渗透数学文化等方面的内容，提出了相关建议。

【关键词】周长与面积；大单元内容进阶；面积公式的内在逻辑

图形的周长与面积是对同一个图形的两种属性的量化分析，即图形边界的长度与内部区域的大小。图形的一般性质特征、周长和面积这三方面内容密切相关，根据图形的特有性质可以推导出计算图形周长与面积的公式，或者说图形的周长与面积也是图形的性质之一。因此，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）将这些内容整合为“图形的认识与测量”主题。

由于周长与面积是从不同角度研究同一个图形，学生易于混淆这两个概念。已有研究表明，学生所学内容越多，越容易混淆这两个概念［1］。如何破解学生易混淆图形的周长与面积这一“魔咒”？如何避免学生只会“套公式计算”而缺乏空间观念、推理意识等素养？现行多个版本教材的编排都是先学周长概念再学面积概念，且学习周长和面积概念时都涉及不规则的曲边图形，这样编排是否合适呢？图形的周长与面积这一大单元的内容逻辑是什么？设计什么样的进阶更符合学生的认知路径？单元学习内容的“升阶点”是什么？这些问题都值得深入研究。教师要在厘清这些问题的基础上，设计有效的学习任务，开展能引发学生深入思考的学习活动，助力学生空间观念、推理意识的形成。

一、周长、面积的数学本质：对一维二维空间的度量

2022年版课标将认识图形与测量整合为一个主题：图形的认识与测量。其中，图形的大小刻画是图形的一种特征。图形既有几何特征也有度量特征。图形的几何特征是图形的整体特征，如图形是否对称、图形有几条对称轴、图形是否稳定、图形边与边之间的位置关系等。其中“对称性”与“平行性”是图形的两个本质特征。图形的度量特征就要涉及“大小”问题，从量化角度认识图形特征，就是要研究图形的周长、面积与体积等。

度量（本文对测量与度量两个词语不作区分）是人类特有的认识世界的实践活动，它创造并利用度量工具（度量单位）对事物的大小或顺序进行度量。测量活动一般都经历“定性地描述”到“精准地刻画”的过程。前者指通过观察、操作等直觀活动感受量的大小，并用较为笼统的语言进行表达；后者则指确定测量单位，通过使用测量工具或计算、推理等方式，用具体数值刻画量的大小。度量的基本意义就是要找到一个度量单位，用度量单位去测量，获得可测物体包含度量单位的个数。由于“数数”太麻烦，所以人类发明了测量长度的工具——各种尺子，发现了计算各种直边图形面积的公式。理解周长与面积这两个概念不能脱离度量的意义，因为这是培养学生量感、空间观念与推理意识的重要载体。

因为“两点之间线段最短”，所以两点之间的距离等价于两点之间线段的长度。在日常生活或数学学习中，用长度刻画一维空间即“线”的长短。度量对象是线段，当是曲线时要化“曲”为“直”，或用“直”替代“曲”。在研究图形“边”的长短时，可以研究所有边线的长度即周长，也可以研究构成图形的各“边”长度之间的关系及边与边所形成的角的大小。例如，三角形三边的关系既有“任意两边之和大于第三边”，也有直角三角形中的“勾股定理”及任意三角形皆适用的“正弦定理”“余弦定理”。这些内容不只能度量边线的长短，还揭示了不同边线之间复杂的数量关系。用面积刻画二维空间即“面”的大小，度量对象是面，面既可以是“平”的，也可以是“曲”的。体积用于描述三维空间即“体”的大小，转化时可以借助“易变形”的液体。三者的度量本质与结构完全相同，都蕴含“化曲为直”或“以直代曲”的转化思想，都是“度量单位的累加”等。

学生理解图形的周长和面积，需要明确度量对象是什么、具有哪些特征。周长是对一维空间图形线段的度量值，面积是对二维空间图形区域的度量值，二者都是具体的数值，都用某个具体的数来表示大小，只是使用的测量单位不同。学习周长的难点是要明确度量对象，其度量对象是“线”——线段或曲线，周长就是图形边线的长度之和。周长的度量对象（边线）并不直观，这要求学生将“边界”或“一周”抽象为线段或曲线。求解图形的周长时，既要有测量各边线段的长度再相加的活动，还要有通过“化曲为直”或“以直代曲”，将曲边图形的“边线”转化为线段长度之和的活动。

教学时要淡化通过操作活动让学生理解“封闭”这一方式，因为学生肉眼所见的都是封闭图形，在理解上没有难度。越是强调封闭，越容易让学生感知“围起来的区域”的大小，但这是面积的概念。可以像中国台湾教材那样，先比较图形的“内部、外部与周界”这三部分概念，再定义“周界的长度”就是图形的周长。这样的设计从更“广