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旋转与中心对称培优讲义

考点直击

1.旋转

(1)定义

把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫作旋转，其中点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.

旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.

(2)性质

①旋转前后的图形全等：对应线段相等，对应角相等；

②对应点到旋转中心的距离相等；

③对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

(3)旋转变换的作图

①确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；②找出能确定图形的关键点；③连接图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们旋转一个角，得到此关键点的对应点；④按原图形的顺序连接这些对应点，所得图形就是旋转后的图形.

2.中心对称

(1)中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，这个点就是它们的对称中心.

(2)中心对称的性质

①关于中心对称的两个图形是全等形；

②关于中心对称的两个图形，对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；

③关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等.

(3)中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.

(4)中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

3.旋转与中心对称的应用

(1)旋转常见的基本图形：

注意：①图形中出现等边三角形时，通常旋转60°；出现等腰直角三角形或正方形时，通常旋转90°；出现线段中点时，通常旋转180°..②共端点或者共线的三条线段想要转化到同一个三角形里时，通常利用旋转变换.

(2)两个点关于原点成中心对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为.P

例题精讲

例1Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠B=50°,点D在边BC上,BD=2CD(如图).把△ABC绕着点D逆时针旋转(α(0°m180°))后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,那么α=.

举一反三1如图，把△ABC绕点C顺时针旋转25°,得到△ABC,AB交AC于点D,AB与AB交于点E.已知∠ADC=80°,则.∠BEA

A.135°B.145°

C.155°D.165°

举一反三2把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AC=BD=10,，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△DEB,则点A在

A.内部B.外部

C.边上D.以上都有可能

如图，△AOB中,∠AOB=90°,AO=举一反三33,BO=6,△AOB绕点O逆时针旋转到.△AOB处，此时线段

例2如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为顶点的正方形OBCD,其中点D(2,0),点B在y轴上,点C在第一象限，以BC为边在正方形OBCD外作等边△ABC,若将△ABC与正方形OBCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°,，则第2020次旋转结束时，点A的坐标为()

A.12+3

C.?1?2?3

【思路点拨】过点A作AE⊥x轴于点E，交BC于点F，根据正方形的性质可得AF⊥BC,B(0,2),即可得.EF=2..由等边三角形的性质及勾股定理可求解AF，BF的长，进而可求解A点坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点A的坐标，发现规律，进而求出第2020次旋转结束时，点A的坐标.

举一反三4如图所示,在平面直角坐标系中,A(0,0),B(2,0),△AP?B是等腰直角三角形且.∠P?=90°,把△AP?B绕点B顺时针旋转180°,得到△BP?C,把△BP?C绕点C顺时针旋转180°,得到△CP?D,，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点.P????的坐标为()

A.(4039,-1)B.(4039,1)C.(2020,-1)D.(2020,1)

例3如图，在等腰直角.△ABC的斜边AB上取两点M,N,使∠MCN=45°,记AM=m,MN=n,BN=x,则以线段x,m,n为边长的三角形的形状是