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正方形相关模型结论归纳
已知正方形ABCD,AB=6,点P在对角线BD上,AP交DC于G,PH⊥DC,PE⊥PA交BC于E,PF⊥BC,垂足为F点,连接EG交PF于N,连接AN交PE于M,EK⊥BD于K,连接AE交BC与Q点。
结论1:△PAE是等腰直角三角形;(旋转全等)
分析:过P点作PI⊥AB交AB于I点;
①四边形APEB为对角互补四边形,
得:∠PAI=∠PEF
②证:△PAI≌△PEF(AAS)
得:PA=PE
③在Rt△APE中,PA=PE
得:△PAE是等腰直角三角形
结论2:EF=EC(对称性)
分析:连接PC
①正方形对称性,得PA=PC
②PC=PA=PE
③在等腰△PEC中,PE=PC,PF⊥EC
得:EF=EC(三线合一)
结论3:PB?PD=2
分析:
①在等腰Rt△PBF中,PB=
②在等腰Rt△PDH中,PD=2
③
结论4:EG=EB+DG(半角模型)
分析:延长CB至点J,使得BJ=DG,连接AJ
①△ABJ≌△ADG(SAS),得AJ=AG
②半角,得∠EAG=∠EAJ=45°
③△AEJ≌△AEG(SAS)得EG=EJ
∴EG=EJ=BE+BJ=BE+DG
结论5:BC+BE=2
分析:
①BC=a+2b,BE=a,BP=√?(a+b)
②BC+BE=2(a+b)=2BP
结论6:GA平分∠DGE(半角模型导角)
分析:半角模型图
∠DGA=∠BJA=∠EGA,得GA平分∠DGE
同理可证:AE平分∠BEG
结论7:A到EG的距离是定值(半角模型推平分,角平分线的性质)
分析:过A点作AL⊥EG交EG于点L
∵AG平分∠DGE,AL⊥EG,AD⊥DG
∴AL=AD=6
∴A点到EG的距离是定值,其值为6
结论8:△EFN的周长为定值(半角模型结论的推广)
分析:
①EG=BE+DG(结论4得到的)
②△EGC周长=EG+EC+CG=BC+CD=12
③FN为△ECG的中位线,
得△EFN的周长为△EGC周长的一半,定值为6
结论9:FH=AP(矩形的性质)
分析:
①四边形PFCH为矩形,得FH=PC
②正方形的对称性,得PC=PA
∴FH=AP
结论10:∠BAE=∠BPE(八字导角)
分析:
①结合△PAE为等腰直角三角形,得∠AEP=45°
②∠ABD=∠AEP=45°
③∠BAE=∠BPE(八字导角)
结论11:∠APB=∠AEG(半角模型导角+八字导角)
分析:
①全等,得:∠AEB=∠AEG
②导角,得:∠AEB=∠APB
③∠APB=∠AEG
结论12:∠DGE=2∠AQD(半角模型导角+八字导角)
分析:
①全等,得:∠DGE=2∠AGD②导角,∠AGD=∠AQD
得:∠DGE=2∠AQD
结论13:PQ2=BQ2+PD2(半角模型)
分析:
过A点作AR⊥AG,使得AR=AP,连接BR
①证:△ARB≌APD(SAS)
②∠RBD=90°,在Rt△BRQ中,RQ2=BR2+BQ2
③△AQP≌△AQR(SAS),得PQ=RQ
∴PQ2=BR2+BQ2=BQ2+PD2
结论14:AB=2
分析:
①AB=a+2b
②BP=
则PK=PB?BK=
③
结论15:若BE=2,则求PF=?(图形的切割)
分析:
①BE=a=2,BC=a+2b=6,得b=2
②PF=BF=a+b=4
结论16:若∠EPF=22.5°,求PF(角平分线定理)
分析:
①在等腰直角△PFB中,PE平分∠BPF
得:ab
②BC=a+2b=6,易得PF=3
结论17:若△PEC为等边三角形,求PD的长(等边三角形线段比)
分析:
①在Rt△PEF中,∠EPF=30°
得:PF=
②a+b=3b,
③
∴b=3
结论18:若S△ABE=6,求S△ECG的面积(半角模型)
分析:
①由面积可得:BE=2,EC=4
②设DG=a,则EG=a+2,CG=6-a在Rt△ECG中,16+6?a2=
∴S△ECG=6
结论19:若AN⊥EG,求PD的长;(轴对称)
①AN垂直平分EG,得AE=AG
②Rt△ABE≌Rt△ADG(HL),得:∠DPG=∠DGP=67.5°
得:PD=DG
③在Rt△ADC中,PD=DG=62
结论20:若AN⊥EG,求证:NA?NE=2
分析:
①NA=AD=DC
②可证四边形NGDP为菱形
故NA-NE=DC-DG=GC,
③在△GNC中,有GC=
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