方案设计类问题培优讲义 2023-2024学年人教版七年级数学下册.docxVIP

方案设计类问题培优讲义

知识梳理

1.方案设计类问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题.随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题越来越受到中考命题人员的喜爱.这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，也是新课程所要求的核心内容之一.

2.方案设计类问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等.所用到的数学知识有方程、不等式、函数、概率和统计等知识.这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题.

3.方案设计类问题的主要解题方法：

(1)讨论材料，合理猜想，对问题进行科学的判断、推理或证明；

(2)画图设计，动手操作，给出图形和其他信息，对图形进行分割组合；

(3)设计方案，比较择优，给出问题，提出要求，寻求最佳解决方案.

例题精析

例1为安置100名中考女生入住，需要同时租用6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则租房方案共有().

A.8种B.9种C.16种D.17种

思路点拨设需要租用6人间客房x间，租用4人间客房y间，且x，y为非负整数，由题意列出方程求出其解就可以.

解题过程设需要租用6人间客房x间，租用4人间客房y间，且x，y为非负整数.

由题意得6x+4y=100,则x=

∵x≥0且为整数,∴50—2y是3的倍数.∵50是偶数,2y是偶数,∴50—2y是偶数.

50以内是3的倍数又是偶数的有0,6,12,18,24,30,36,42,48,∴x=0,2,4,6,8,10,12,14,16.

∵x=0不符合题意，要求是同时租用，∴共有8种方案.故选A.

方法归纳本题考查了运用不定方程解决实际问题的方法，解答中合理运用未知数的隐含条件是解答本题的关键.

易错误区求不定方程的特殊解时要注意特殊解的要求，一般先根据要求确定范围以减小运算量.

例2某公司有A，B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表：

体积(m3/件)

质量(t/件)

A型商品

0.8

0.5

B型商品

2

1

(1)已知一批商品有A，B两种型号，体积一共是20m3，质量一共是10.5t，那么A，B两种型号的商品分别有几件?

(2)物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5t，容积为6m3，其收费方式有以下两种：

①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元；

②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元.

要将(1)中的商品一次或分批运输到目的地，该公司应如何选择运送的付费方式，使运费最少?并求出该方式下的运费.

思路点拨(1)设A，B两种型号的商品分别有x件和y件，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；(2)分别计算出两种方式所需的费用，比较即可.

解题过程(1)设A，B两种型号的商品分别有x件和y件.

由题意得0.8x+2y=20,0.5x+y=10.5,解得

∴A，B两种型号的商品分别有5件、8件.

(2)①按车收费:10.5÷3.5=3(辆),

但车辆的容积为:6×3=1820.

∴3辆车不够，需要4辆车.

此时运费为:4×600=2400(元).

②按吨收费:200×10.5=2100(元).

∵2100元2400元,

∴该公司应选择按吨收费运送，该方式下的运费是2100元.

方法归纳本题考查的是二元一次方程组的应用以及方案设计问题，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

易错误区求所需的车辆数不但要考虑每辆车的额定载重量，还要考虑每辆车的容积，所以运送10.5t货物需要4辆车，而不是3辆车.

例3一个西瓜放在桌子上用刀切下去，一刀可以切成2块，2刀最多可以切成4块，3刀最多可以切成7块，4刀最多可以切成11块(如图).

上述问题转化为数学模型实际上就是n条直线最多把平面分成几块的问题，有没有规律呢?请先进行试验，然后回答以下问题.

(1)填表:

直线条数

1

2

3

4

5

6

分成的最多块数

2

4

7

11

(2)设n条直线把平面最多分成的块数是S，请写出S关于n的表达式.(不需要解题过程)

思路点拨可以发现，2条直线时比原来多了2块，3条直线时比原来多了3块，4(条直线时比原来多了4块,……,n条直线时比原来多了n块,∴n=1,S?=1+1;n=2,S?=S?+2;n=3,S?=S?+3;n=