线性代数与概率论（曹景龙第五版） 课件 第二章 矩阵与向量.pptx

第二章矩阵与向量第一节矩阵的概念与基本运算第二节矩阵的秩第三节方阵的幂与伴随矩阵第四节方阵的逆矩阵本章思维导图引导案例---生产成本计算问题?某公司生产两种产品，对于1个单位的产品A，公司需消耗0.45元原材料，0.25元劳动力，0.15元管理费用。对于1个单位的产品B，公司需消耗0.40元原材料，0.30元劳动力，0.15元管理费用，请问公司生产个单位的产品A和分析：总的成本的计算涉及向量的数乘运算、加法运算等。本章将从矩阵的概念、向量的概念与基本运算出发，讲解矩阵的相关知识和应用。第一节矩阵的概念与基本运算本节主要学习目标：[知识目标]理解矩阵的概念。熟练掌握矩阵的加减、数乘、矩阵相乘的运算。

[能力目标]能进行矩阵的加、减、数乘及矩阵的乘法运算。矩阵的概念考虑由两个线性方程式构成的二元线性方程组?其解的情况取决于未知量系数与常数项,因此将它们按照顺序组成一个矩形表进行研究?第一节矩阵的概念与基本运算矩阵的概念定义2.1将m×n个数(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)组成一个m行n列的矩形表,称为m行n列矩阵,记作?A=?第m行第1列元素列数行数?通常用大写黑体英文字母表示矩阵，也可以记作Am×n或()m×n第一节矩阵的概念与基本运算矩阵的概念由一个元素组成的矩阵A称为1行1列矩阵,记作A=().?只有一列的矩阵称为列矩阵,也称为列向量只有一行的矩阵称为行矩阵,也称为行向量列向量与行向量统称为向量,通常用小写黑体希腊字母表示向量.所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵,记作O或Om×n;至少有一个元素不为零的矩阵称为非零矩阵,非零矩阵A记作A≠O.第一节矩阵的概念与基本运算主对角线次对角线矩阵的概念定义2.2已知矩阵A,B,它们的行数相同且列数也相同,若对应元素皆相等,则称矩阵A等于矩阵B,记作A=B?若矩阵A=()的行数与列数都等于n,即?A=则称它为n阶方阵或n阶矩阵第一节矩阵的概念与基本运算矩阵的概念注意:n阶方阵与n阶行列式是两个不同的概念n阶方阵是由n2个元素组成的n行n列的正方形表n阶行列式是代表由n2个元素根据行列式运算法则计算得到的一个数值?三阶方阵举例：三阶方阵的9个元素按照原来的顺序作一个三阶行列式则为?=6第一节矩阵的概念与基本运算矩阵的概念单位矩阵在n阶方阵中,若主对角线上元素皆为1,其余元素皆为零?I=矩阵的基本运算包括下列四种运算第一节矩阵的概念与基本运算1.矩阵与矩阵的加、减法定义2.3已知m行n列矩阵A=()m×n与B=()m×n,将对应元素相加、减,所得到的m行n列矩阵称为矩阵A与B的和、差,记作?A±B=(±)m×n?值得注意的是:只有行数相同且列数也相同的两个矩阵才能相加、减矩阵与矩阵的加、减法同数与数的加、减法在运算规律上是完全一致的第一节矩阵的概念与基本运算例1已知矩阵A=,B=,求和A+B?解：=+??=A+B第一节矩阵的概念与基本运算2.数与矩阵的乘法定义2.4已知数k与m行n列矩阵A=()m×n,将数k乘矩阵A的每个元素,所得到的m行n列矩阵称为数k与矩阵A的积,记作?kA=(k)m×n?容易知道,数与矩阵的乘法同数与数的乘法在运算规律上是完全一致的第一节矩阵的概念与基本运算例2?已知矩阵A=,则积2A=?=2?=?解:2A?对于方阵有=2注意：对于行列式则有?≠2??=22第一节矩阵的概念与基本运算例3已知矩阵A=,B=,?若矩阵X满足关系式2X-A=4B，求矩阵X解:从关系式2X-A=4B得到矩阵=+2??X=A+2B?=+?=第一节矩阵的概念与基本运算3.矩阵与矩阵乘法定义2.5已知m行l列矩阵A=()m×l与l行n列矩阵B=(bij)l×n,将矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素乘积之和作为一个矩阵第i行第j列的元素(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),所得到的这个m行n列矩阵称为矩阵A与B的积,记作?AB=(++…+)m×n?第一节矩阵的概念与基本运算3.矩阵与矩阵乘法注意：只有矩阵A的列数等于矩阵B的行数,积AB才有意义积AB第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素乘积之和积AB的行数等于矩阵A的行数,积AB的列数等于矩阵B的列数，即Am×lBl×n=(AB)m×n第一节矩阵的概念与基本运算例4已知矩阵A=,B=,求:?(1)积AB有无意义?(2)若有意义,积C=AB为几行几列矩阵?积C=AB第1行第2列的元素c12等于多少?第一节矩阵的概念与基本运算例4解:(1)容易看出,矩阵A为2行3列矩阵,矩阵B为3行4列矩阵由于矩阵A的列数等于矩阵B的行数,所以积AB有意义.根据积AB的行数等于矩阵A的行数,积AB的列数等于矩阵B的列数(2