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新定义问题在五种题型中的应用
通用的解题思路:
新定义类坐标系内代数综合问题,是在已有的数学知识基础上,从坐标、代数式、或者函数图象以及几何图象出
发,给出一个新定义,要求学生理解并应用这个定义来解决相应的数学问题。它突出考查自主学习能力、数学阅
读能力、数学抽象概括能力以及对新定义的实际应用能力。
解答此类问题,首先,认真阅读题目,结合简单示例,理解题干新定义的核心特征,如位置关系、数量关系、变化运
动特征等;其次,要根据题意,画出辅助图形,完成文字语言、符号语言和图象语言的互化,让语言互化走在思维
的最前端;最后,注意归纳结论,为后续问题做好指向。
此类新定义,名字新,但是内容一般是由我们学过的知识按照一种新的模式进行的组合,这就需要在分析的基础
上进行转化。将新定义转化为熟悉的知识和熟悉的方法,才能有效地解决问题。
题型一:数与式中的新定义问题
1(2024•宣化区一模)对于三个实数a,b,c,用M{a,b,c}表示这三个数的平均数,用min{a,b,c}表
1+2+9
示这三个数中最小的数.例如:M{1,2,9}==4,min{1,2,-3}=-3,min{3,1,1}=1.请结
3
合上述材料,解决下列问题:
(1)min{sin30°,cos60°,tan45°};
2
(2)若M{-2x,x,3}=2,求x的值.
【分析】(1)根据特殊角的三角函数值,以及定义的新运算,即可解答;
2
-2x+x+3
(2)根据定义的新运算可得=2,然后进行计算即可解答.
3
【解答】解:(1)min{sin30°,cos60°,tan45°}
11
=min,,1
22
1
=;
2
2
(2)∵M{-2x,x,3}=2,
-2x+x+32
∴=2,
3
整理得:x-2x-3=0,2
(x-3)(x+1)=0,
x-3=0或x+1=0,
x=3或x=-1,
∴x的值为3或-1.
【点评】本题考查了一元二次方程的解,实数大小比较,特殊角的三角函数值,理解定义的新运算是解题的关
键.
2(2023•章贡区校级模拟)给出如下定义:我们把有序实数对(a,b,c)叫做关于x的二次多项式ax2
2
+bx+c的特征系数对,把关于x的二次多项式ax+bx+c叫做有序实数对(a,b,c)的特征多项式.
2
(1)关于x的二次多项式3x+2x-1的特征系数对为(3,2,-1);
1
(2)求有序实数对(1,4,4)的特征多项式与有序实数对(1,-4,4)的特征多项式的乘积;
43
(3)若有序实数对(p,q,-1)的特征多项式与有序实数对(m,n,-2)的特征多项式的乘积的结果为2x+x
2
-10x-x+2,直接写出(4p-2q-1)(2m-n-1)的
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