高中数学：极值点偏移问题精简.doc

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极值点偏移问题

一、极值点偏移的含义

单峰函数定义域内有两个不同实数满足，则极值点与大小关系：

若，则称为极值点不偏；

若，则称为极值点左偏；

若，则称为极值点右偏.

极值点没有偏移

（左右对称）（左快右慢）（左慢右快）

【问题特征】

左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）

二、极值点偏移问题的一般题设形式：（以极值点左偏，且先减后增为例）

1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；

2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；

3.若函数存在两个零点且，求证：；

4.若函数中存在且满足，求证：.

三、判定极值点偏移的方法

若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.

（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；

（假设此处在上单调递减，在上单调递增）

（2）构造；

（注：此处根据题意需要还可以构造成的形式）

【为什么要这样构造？】

欲证，即证，因，，故，又因在上单调递减，故只需证，注意到，故转证，即证

，所以联想到构造（）

（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，得出与的大小关系.

四、典型问题探究

（一）不含参数的问题.

例1.（2010天津理）已知函数，如果，且，证明：

例2.（2013湖南文）已知函数，证明：当时，

（二）含参数的问题.

例3.已知函数有两个不同的零点，求证：.

例4.已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明：

例5.设函数，其图像与轴交于两点，且.

证明：.

例6.已知函数.若有两零点（），求证：.

例7.已知函数.

若函数有两个零点，（，），证明：.

对数平均不等式的介绍与证明

两个正数和的对数平均定义：

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：

（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立.

只证：当时，.不失一般性，可设.证明如下：

（I）先证：……?

不等式?

构造函数，则.因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式?成立；

（II）再证：……?

不等式?

构造函数，则.因为时，，所以函数在上单调递增，故，从而不等式?成立；

综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立.

前面例题用对数平均不等式解决

例1.（2010天津理）已知函数，如果，且，

证明：

例4.设函数，其图像与轴交于两点，且.证明：.