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广州协和中学2023-2024学年高三下学期联考数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数满足,设,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.的展开式中的一次项系数为()
A. B. C. D.
3.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到者,亦依次更给,问各得金几何?”则在该问题中,等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金()
A.多1斤 B.少1斤 C.多斤 D.少斤
4.已知是虚数单位,则()
A. B. C. D.
5.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是()
A. B. C. D.
6.定义:表示不等式的解集中的整数解之和.若,,,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知函数.下列命题:①函数的图象关于原点对称;②函数是周期函数;③当时,函数取最大值;④函数的图象与函数的图象没有公共点,其中正确命题的序号是()
A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④
8.已知直线:()与抛物线:交于(坐标原点),两点,直线:与抛物线交于,两点.若,则实数的值为()
A. B. C. D.
9.已知集合,,,则的子集共有()
A.个 B.个 C.个 D.个
10.当时,函数的图象大致是()
A. B.
C. D.
11.已知函数,不等式对恒成立,则的取值范围为()
A. B. C. D.
12.某个命题与自然数有关,且已证得“假设时该命题成立,则时该命题也成立”.现已知当时,该命题不成立,那么()
A.当时,该命题不成立 B.当时,该命题成立
C.当时,该命题不成立 D.当时,该命题成立
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.甲、乙两人同时参加公务员考试,甲笔试、面试通过的概率分别为和;乙笔试、面试通过的概率分别为和.若笔试面试都通过才被录取,且甲、乙录取与否相互独立,则该次考试只有一人被录取的概率是__________.
14.根据如图的算法,输出的结果是_________.
15.若变量,满足约束条件则的最大值是______.
16.若满足约束条件,则的最大值为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知各项均为正数的数列的前项和为,满足,,,,恰为等比数列的前3项.
(1)求数列,的通项公式;
(2)求数列的前项和为;若对均满足,求整数的最大值;
(3)是否存在数列满足等式成立,若存在,求出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.
18.(12分)随着互联网金融的不断发展,很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品,如蚂蚁金服旗下的“余额宝”,腾讯旗下的“财富通”,京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况,随机抽取1200名使用理财产品的市民,按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表:
分组
频数(单位:名)
使用“余额宝”
使用“财富通”
使用“京东小金库”
30
使用其他理财产品
50
合计
1200
已知这1200名市民中,使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.
(1)求频数分布表中,的值;
(2)已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为,“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中,从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人,然后从这7人中随机选取2人,假设这2人中每个人理财的资金有10000元,这2名市民2018年理财的利息总和为,求的分布列及数学期望.注:平均年化收益率,也就是我们所熟知的利息,理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品,一年可以获得3元利息.
19.(12分)如图,在三棱柱中,是边长为2的等边三角形,,,.
(1)证明:平面平面;
(2),分别是,的中点,是线段上的动点,若二面角的平面角的大小为,试确定点的位置.
20.(12分)在中,角所对的边分别是,且.
(1)求;
(2)若,求.
21.(12分)已知等比数列中,,是和的等差中项.
(1)求数列的
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