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广州协和中学2024届高三冲刺模拟数学试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知正四面体的内切球体积为v,外接球的体积为V,则()
A.4 B.8 C.9 D.27
2.已知函数,若,使得,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
3.在关于的不等式中,“”是“恒成立”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知函数,则()
A. B. C. D.
5.设是虚数单位,复数()
A. B. C. D.
6.复数的虚部为()
A.—1 B.—3 C.1 D.2
7.已知集合,集合,那么等于()
A. B. C. D.
8.从抛物线上一点(点在轴上方)引抛物线准线的垂线,垂足为,且,设抛物线的焦点为,则直线的斜率为()
A. B. C. D.
9.函数的值域为()
A. B. C. D.
10.已知函数,则的值等于()
A.2018 B.1009 C.1010 D.2020
11.已知为等差数列,若,,则()
A.1 B.2 C.3 D.6
12.已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知集合,若,则__________.
14.在平面五边形中,,,,且.将五边形沿对角线折起,使平面与平面所成的二面角为,则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是______.
15.在的展开式中,的系数为________.
16.若函数与函数,在公共点处有共同的切线,则实数的值为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)设复数满足(为虚数单位),则的模为______.
18.(12分)如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为⊙上一点,,交于点.求证:~.
19.(12分)在中,、、的对应边分别为、、,已知,,.
(1)求;
(2)设为中点,求的长.
20.(12分)如图,三棱台中,侧面与侧面是全等的梯形,若,且.
(Ⅰ)若,,证明:∥平面;
(Ⅱ)若二面角为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
21.(12分)已知二阶矩阵A=abcd,矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1
22.(10分)已知函数的最大值为2.
(Ⅰ)求函数在上的单调递减区间;
(Ⅱ)中,,角所对的边分别是,且,求的面积.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
设正四面体的棱长为,取的中点为,连接,作正四面体的高为,首先求出正四面体的体积,再利用等体法求出内切球的半径,在中,根据勾股定理求出外接球的半径,利用球的体积公式即可求解.
【详解】
设正四面体的棱长为,取的中点为,连接,
作正四面体的高为,
则,
,
,
设内切球的半径为,内切球的球心为,
则,
解得:;
设外接球的半径为,外接球的球心为,
则或,,
在中,由勾股定理得:
,
,解得,
,
故选:D
【点睛】
本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题,考查了椎体的体积公式以及球的体积公式,需熟记几何体的体积公式,属于基础题.
2、C
【解析】
试题分析:由题意知,当时,由,当且仅当时,即等号是成立,所以函数的最小值为,当时,为单调递增函数,所以,又因为,使得,即在的最小值不小于在上的最小值,即,解得,故选C.
考点:函数的综合问题.
【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题,其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查,试题思维量大,属于中档试题,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与化归思想的应用,其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键.
3、C
【解析】
讨论当时,是否恒成立;讨论当恒成立时,是否成立,即可选出正确答案.
【详解】
解:当时,,由开口向上,则恒成立;
当恒成立时,若,则不恒成立,不符合题意,
若时,要使得恒成立,则,即.
所以“”是“恒成立”的充要条件.
故选:C.
【点睛】
本题考查了命题的关系,考查了不等式恒
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