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四川省成都市成华区某校2023-2024学年高三“三诊”数学(文)试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知集合,,则(????)
A. B. C. D.
2.已知一样本数据(如茎叶图所示)的中位数为12,若,均小于4,则的值为(????)
??
A.2 B.3 C.4 D.5
3.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴非负半轴重合,为其终边上一点,则(???)
A. B.4 C. D.1
4.已知,则(???)
A. B. C. D.
5.若实数x,y满足约束条件,则的最大值为(????)
A.0 B. C. D.2
6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”,“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题.现有这样一个问题:将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列,则(????)
A.55 B.49 C.43 D.37
7.如图,在三棱柱中,分别为的中点,则下列说法错误的是()
A.四点共面 B.
C.三线共点 D.
8.若是不等式成立的一个必要不充分条件,则实数a的取值范围是(????)
A. B. C. D.
9.在中,,,,且,则(????)
A. B. C. D.
10.已知函数(为常数,)的部分图像如图所示,若将的图像向左平移个单位长度,得到函数的图像,则的解析式可以为(????)
A. B.
C. D.
11.已知,是双曲线(,)的左,右焦点,点()是双曲线E上的点,点C是内切圆的圆心,若,则双曲线E的渐近线为(????)
A. B. C. D.
12.若,恒成立,则实数的最大值为(????)
A. B.2 C. D.
二、填空题
13.《九章算术》中,称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.已知某“鳖臑”的三视图如图所示,则该“鳖臑”的体积.
14.若复数满足,则的最小值为.
15.设抛物线的焦点为,准线为,是抛物线上位于第一象限内的一点,过作的垂线,垂足为,若直线的倾斜角为120°,则.
16.已知三棱锥的顶点都在球的表面上,若球的表面积为,,,,则当三棱锥的体积最大时,.
三、解答题
17.某手机生产厂商要生产一款5G手机,在生产之前,该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查,共调查了400人,将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组,分别是:,,,,,(单位:英寸),得到如下频率分布直方图:其中,屏幕需求尺寸在的一组人数为50人.
??
(1)求和的值;
(2)用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为和两组人中抽取6人参加座谈,并在6人中选择2人做代表发言,则这2人来自同一分组的概率是多少?
18.已知正项数列的前项积为,且满足.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)求数列的前项和.
19.如图,在三棱台中,在边上,平面平面,,,,,.
(1)证明:;
(2)若的面积为,求三棱锥的体积.
20.已知椭圆:的长轴为双曲线的实轴,且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点、是椭圆上异于点的两个不同的点,直线与的斜率均存在,分别记为,,且,求证:直线恒过定点,并求出定点的坐标.
21.已知函数,其中实数.
(1)求证:函数在处的切线恒过定点,并求出该定点的坐标;
(2)若函数有两个零点,且,求a的取值范围.
22.多样化的体育场地会为学生们提供更丰富的身体锻炼方式.现有一个标准的铅球场地如图,若场地边界曲线M分别由由两段同心圆弧和两条线段四部分组成,在极坐标系中,,A?O?B三点共线.,点C在半径为1的圆上.
(1)分别写出组成边界曲线M的两段圆弧和两条线段的极坐标方程;
(2)若需设置一个距边界曲线M距离不小于1且关于极轴所在直线对称的矩形警示区域,如图,求警示区域所围的最小面积.
注:,
23.已知函数,.
(1)当时,求不等式的解;
(2)对任意.关于x的不等式总有解,求实数a的取值范围.
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参考答案:
1.C
【分析】根据不等式的解法和指数函数的性质,求得集合,结合集合交集的运算,即可求解.
【详解】由不等式
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