第2题空间中截面最值问题 2024年高中数学三轮复习之一题多解.docx

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第2题空间中截面最值问题（5月）

【2024届广东省珠海一中高三大湾区预测卷】

在三棱锥中，平面，，点为棱上一点，过点作三棱锥的截面，使截面平行于直线和，当该截面面积取得最大值时，（）

A．????B．????C．????D．

根据线面平行的性质先推出截面形状，再根据已知判定是等腰直角三角形，设，由二次函数的性质得出截面面积最大时，最后由勾股定理计算即可．

如图所示，设截面为四边形．

截面平行于直线，

截面平行于直线，

又平面，故四边形为矩形，其面积为．

因为，

所以，所以．

又，

所以是等腰直角三角形．

设，则，所以

，当且仅当时取等号．

故当截面面积最大时，，

在中，由勾股定理得：．

本题选A．

（23-24高三下·河南·阶段练习）

1．在正方体中，为的中点，在棱上，且，则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为（????）

A．6 B．8 C．12 D．16

（2024·四川·一模）

2．设正方体的棱长为1，与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为M．则下列结论正确的是（????）．

A．M必为三角形 B．M可以是四边形

C．M的周长没有最大值 D．M的面积存在最大值

根据线面平行的性质得出截面为矩形，由余弦定理得，设，用m表示线段长及截面面积，结合基本不等式求得截面取最值时的m值，从而得出，再根据余弦定理计算即可．

如图所示，设截面为四边形．

截面平行于直线，

截面平行于直线，

又平面，故四边形为矩形，其面积为，

，

．

设，

则，，

，

时取等号，此时．

在中，由余弦定理得：

，

所以．选A．

【题后反思】

1．确定截面的主要依据有

（1）平面的四个公理及推论．

（2）直线和平面平行的判定和性质．

（3）两个平面平行的性质．

2．作截面的几种方法

（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程．

（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点．

（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线．

总评：截面问题的常用解题策略

立体问题的解题策略，主要有代数法及几何法．其中代数法主要包括坐标法、基底法．

1．坐标法．就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标的代数运算．如果遇到直线，主要考虑直线的方向向量；如果遇到平面，主要考虑平面的法向量．

2．基底法．基底法主要是利用平面向量和空间向量的基本定理解决问题．其理论依据是：若四个不同的点共面，为空间任意点，则：

①若不共线，则；

②，且．

3．几何法．平面化是几何法的核心策略，同时也是解决立体几何问题的核心策略．对于截面问题的关键是判断出截面所具有的几何性质，而要获得截面，常见的策略有：

①延长交线得到交点；②作平行线．

判断截面的原理主要有：

①平面的公理及其推论．

②线面平行的性质定理．

③如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行．

（2022·北京朝阳·一模）

3．在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是（????）

A． B． C． D．

（2023·福建泉州·模拟预测）

4．如图，棱长为2的正方体容器中，，分别是棱，的中点，在，，处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为.

??

（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）

5．如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则（????）

??

A．对于任意点，平面

B．直线被球截得的弦长为

C．过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为

D．当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为

（23-24高二上·上海·期末）

6．如图，在棱长为10的正方体中，M为棱CD的中点，点P在侧面上，且到与的距离均为3，则过点P且与垂直的平面截正方体所得截面的形状是（????）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）

7．已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（????）

A． B． C． D．

（23-24高三上·辽宁·阶段练习）

8．已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（????）

A．的长度为 B．的长度为