椭圆的热点问题(三).doc

椭圆的热点问题〔三〕

一探求性问题

例1.〔13年江西理〕如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.

(1) 求椭圆的方程;

(2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?假设存在求的值;假设不存在,说明理由.

解:(1)由在椭圆上得,=1\*GB3①

依题设知,那么=2\*GB3②

=2\*GB3②代入=1\*GB3①解得.

故椭圆的方程为.

(2)方法一:由题意可设的斜率为,

那么直线的方程为=3\*GB3③

代入椭圆方程并整理,得,

设,那么有

=4\*GB3④

在方程=3\*GB3③中令得,的坐标为.

从而.

注意到共线,那么有,即有.

所以

=5\*GB3⑤

=4\*GB3④代入=5\*GB3⑤得,

又,所以.故存在常数符合题意.

方法二:设,那么直线的方程为:,

令,求得,

从而直线的斜率为,

联立,得,

那么直线的斜率为:,直线的斜率为:,

所以,

故存在常数符合题意.

例2〔13年湖北理〕如图,椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为,,,.记,和的面积分别为和.

(=1\*ROMANI)当直线与轴重合时,假设,求的值;

(=2\*ROMANII)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由.

解:(=1\*ROMANI),

解得:(舍去小于1的根)

(=2\*ROMANII)设椭圆,,直线:

同理可得,

又和的的高相等

如果存在非零实数使得,那么有,

即:,解得

当时,,存在这样的直线;当时,,不存在这样的直线.

变式训练1.〔13年北京理〕A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.

(=1\*ROMANI)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;

(=2\*ROMANII)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.

解:(=1\*ROMANI)椭圆W:的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A(1,),代入椭圆方程得,即.所以菱形OABC的面积是.

(=2\*ROMANII)假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为.

由消去并整理得.

设A,C,那么,.

所以AC的中点为M(,).

因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为.

因为,所以AC与OB不垂直.所以OABC不是菱形,与假设矛盾.

所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.

变式训练2.如图，椭圆其左、右焦点分别为

过点的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与轴和轴分别交于D、E两点，且、、构成等差数列，

求椭圆C的方程；

记的面积为为原点〕的面积为，试问：是否存在直线AB，使？请说明理由.

解：成等差数列，

故所求椭圆C的方程为

(2)假设存在直线AB，使得，显然直线AB的斜率存在且不为零，

设直线AB的方程为

由得

设，那么所以G点坐标为

即

又和相似，所以假设，那么

整理得无实数解.

故不存在直线AB，使得成立.

变式训练3.椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与C相交于A、B两点，当的斜率为1时，坐标原点O到的距离为.

求的值；

C上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？假设存在，求出所有的P的坐标与的方程；假设不存在，说明理由.

解：〔1〕设，当的斜率为1时，其方程为，

所以O到的距离为由，得

由得

〔2〕假设C上存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立.

设那么由〔1〕知，C的方程为

由题意知，的斜率一定不为零，故不妨设

由消去并化简整理，得

由韦达定理，得

因为点P在C上，

化简整理，得即解得

当时，的方程为

当时，的方程为

故C上存在点使成立，此时的方程为

变式训练4.椭圆E的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的最小距离为，离心率

求椭圆E的方程；

假设直线交椭圆E于P、Q两点，点M的坐标为〔1,0〕，问是否存在，使？假设存在，求出的值，假设不存在，说明理由.

解：〔1〕设椭圆E的方程为

由得解得

所以椭圆E的方程为

〔2〕联立得

由题意知解得

设那么

又

即

整理得

解得或又

或

故存在或使

二其它问题

例1〔13年四川理〕椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于、两点,点是线段上的点,且,求点的轨迹方程.

解:

所以,.