第5题马尔科夫链问题 2024年高中数学三轮复习之一题多解.docx

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第5题马尔科夫链问题

【2024届武汉市二月调研考试14】．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外的就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为______．

利用枚举法分类讨论粒子进入2号仓之后的运动可能，设“第一步从2号仓先到达1号仓，第二步再从1号仓出”，“从2号仓出发，两步运动之内能再回到2号仓”，并求其概率后再求粒子第一次从2号仓出发，最终能从1号仓出去的概率，根据等比数列求和公式及极限思想计算即可.

已知粒子第一次从1号仓到2号仓的概率为，粒子第一次从1号仓就到达容器外的概率为．

当粒子到达2号仓后，再之后两次运动过程中，有如下可能：

①先到达1号仓，再从1号仓出；②先到达1号仓，再返回2号仓：③直接从2号仓出；④先到达3号仓，再从3号仓出；⑤先到达3号仓，再返回2号仓.

设“第一步从2号仓先到达1号仓，第二步再从1号仓出”，“从2号仓出发，两步运动之内能再回到2号仓”.

所以.

若事件发生，那么又将重新进行5种可能.

设粒子第一次从2号仓出发，最终能从1号仓出去的概率为，

，

不妨设，数列的前项和：

，，

故最终概率为．

故答案为：．

（2024年3月金丽衢十二校第二次联考）

1．已知正方体，的棱长为1，点P是正方形上的一个动点，初始位置位于点处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为，向对角顶点移动的概率为，如当点P在点处时，向点，移动的概率均为，向点移动的概率为，则（????）

A．移动两次后，“”的概率为

B．对任意，移动n次后，“平面”的概率都小于

C．对任意，移动n次后，“PC⊥平面”的概率都小于

D．对任意，移动n次后，四面体体积V的数学期望（注：当点P在平面上时，四面体体积为0）

（23-24高二下·江苏南京·期中）

2．在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为．

(1)求，；

(2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有，试确定a，b，c的值，并证明上述递推公式；

(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？

根据平衡状态转移方程及守恒原理直接计算即可.

如图所示，设出1号仓的概率为，出2号仓的概率为，出3号仓的概率为，则，解得，

所以从1号仓到容器外的概率为．

设经过步后粒子到达号仓的概率分别为，根据题意得出递推关系，计算得出，再根据等比数列求和公式计算即可.

设经过步后粒子到达号仓的概率分别为，，则，则时，

有故，

所以，

易知，所以试验结束，该粒子是从1号仓到达容器外的概率为：．

（浙江省名校协作体2024年2月高三下学期返考）

3．日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性.假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量，根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数，寿命恰好为的植物在所有寿命不小于的植物中的占比为.记“一株植物的寿命为”为事件，“一株植物的寿命不小于”为事件.则下列结论正确的是（????）

A．

B．

C．设，则为等比数列

D．设，则

（2023年9月武汉部分学校高三上调研）

4．甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则；．

（22-23高二下·重庆渝中·期末）

5．“紫藤挂穗，蓝楹花开，黄桷新绿，菩提葱蔚”，巴蜀中学即将迎来90周年校庆，学校设计了3个吉祥物“诚诚”，“盈盈”，“嘉嘉”.现在袋中有6个形状.大小完全相同的小球，每一个小球上写有一个字（其中有2个小球写着“诚”，2个小球写着“盈”，2个小球写着“嘉”），现在有四位同学，平均分成甲、乙