高中数学各章易错点精析7-立体几何与空间向量.doc

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第7章立体几何

【易错点1：空间点线面关系】

例1、已知m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题：

(1)若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α，或n⊥β；

(2)若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；

(3)若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；

(4)若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α，且n∥β；

(5)若m、n为异面直线，则存在平面α过m且使n⊥α.

其中正确的命题序号是________．

正解(1)是错误的．(2)正确．实质上是两平面平行的性质定理．

(3)是错误的．(4)正确．利用线面平行的判定定理即可．

(5)错误．从结论考虑，若n⊥α且m?α，则必有m⊥n，事实上，条件并不能保证m⊥n.故错误．

例2、已知直线平面，直线在平面内，给出下列四个命题：①；②；③；④，其中真命题的序号是.

【①④分析：熟悉点线面的的一些常用定理，直线垂直平面，则垂直于平面内任意一条直线。若两平面平行，则该直线也垂直于此平面。】

例3、a、b是异面直线，P是a、b外任意一点，下列结论正确的有（）

A.过P可以作一个平面与a、b都平行

B.过P可以作一个平面与a、b都垂直

C.过P可以作一直线与a、b都平行

D.过P可以作一直线与a、b成等角

【答案：D】当P点与a确定的平面和b平行时，A错误。

【易错点2：立体图形的截面问题】

必修2平行关系习题1-5（第34页）B组第2题，就是一个截面问题。

例4、正方体--，E、F分别是、的中点，p是上的动点（包括端点），过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是（）

线段B、线段C、线段和一点D、线段和一点C。

【易错点分析】学生的空间想象能力不足，不能依据平面的基本定理和线面平行定理作两平面的交线。

解析：如图当点P在线段上移动时，易由线面平行的性质定理知：直线DE平行于平面，则过DE的截面DEP与平面的交线必平行，因此两平面的交线为过点P与DE平行的直线，由于点P在线段CF上故此时过P与DE平行的直线与直线的交点在线段上，故此时截面为四边形（实质上是平行四边形），特别的当P点恰为点F时，此时截面为也为平行四边形，当点P在线段上时如图分别延长DE、DP交、于点H、G则据平面基本定理知点H、G既在平

截面DEP内也在平面内，故GH为两平面的交线，连结GH分别交、于点K、N（注也有可能交在两直线的延长线上），再分别连结EK、KN、PN即得截面为DEKNP此时为五边形。故选C

【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：①一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内，②两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如①证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；②诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这些点在两平面的交线上）。据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。

例5、在正三棱柱-中，P、Q、R分别是、、的中点，作出过三点P、Q、R截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。【答案：五边形。】

【易错点3：忽视角的范围】

说明：直线与平面所成角的范围是；两异面直线所成角的范围是；二面角的范围。特别要注意的是两异面直线所成角的范围，当求出的余弦值为时，其所成角的大小应为.求异面直线所成角的基本方法：①平移使相交，然后解三角形；②空间向量法。

例6、如果异面直线a、b所成的角为,P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是的直线有几条？

A、一条B二条C三条D四条

【易错点分析】对过点P与两异面直线成相同的角的直线的位置关系空间想象不足，不明确与两直线所成的角与两异面直线所成的角的内在约束关系。

解析：如图，过点P分别作a、b的平行线、，则、所成的角也为，即过点P与、成相等的角的直线必与异面直线a、b成相等的角，由于过点P的直线L与、成相等的角故这样的直线L在、确定的平面的射影在其角平分线上，则此时必有

当时，有，此时这样的直线存