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《数学分析》教案
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第十八章隐函数定理及其应用
教学目的:1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件,进而会求隐函数的导数;
2.了解隐函数组的有关概念,理解二元隐函数组存在的条件,了解反函数组存在的条件;
3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用,会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。
教学重点难点:本章的重点是隐函数定理;
教学时数:14学时
§1隐函数
一.隐函数概念:隐函数是表达函数的又一种方法.
1.??隐函数及其几何意义:以为例作介绍.
2.??隐函数的两个问题:ⅰ隐函数的存在性;ⅱ隐函数的解析性质.
二.?隐函数存在条件的直观意义:
三.??隐函数定理:
Th1(隐函数存在唯一性定理)若满足下列条件:
ⅰ函数在以为内点的某一区域D上连续;
ⅱ;(通常称这一条件为初始条件)
ⅲ在D内存在连续的偏导数;
ⅳ.
则在点的某邻域()D内,方程唯一地确定一个定义在某区间内的隐函数,使得
⑴,时()且
.
⑵函数在区间内连续.
(证略)?
四.?隐函数可微性定理:
Th2设函数满足隐函数存在唯一性定理的条件,又设在D内存在且连续.则隐函数在区间内可导,且
.(证略)
例1验证方程在点满足隐函数存在唯一性定理的条件,并求隐函数的导数.P149例1
例2.其中为由方程所确定的隐函数.求.P150例2(仿)
例3(反函数存在性及其导数)设函数在点的某邻域内有连续的导函数,且,.用隐函数定理验证存在反函数,并求反函数的导数.P151例4?
五.元隐函数:P149Th3
例4???????????.验证在点存在是的隐函数,并求偏导数.P150例3?
§3几何应用
一.平面曲线的切线与法线:设平面曲线方程为.有
.
切线方程为,
法线方程为.
例1????求Descartes叶形线在点处的切线和法线.P159例1.
二.???????空间曲线的切线与法平面:?
1.?????????曲线由参数式给出:.
切线的方向数与方向余弦.
切线方程为.
法平面方程为.
2.曲线由两面交线式给出:设曲线的方程为
点在上.推导切线公式.[1]P209.
切线方程为.
法平面方程为.
例2????????P161例2.?
三.曲面的切平面与法线:
设曲面的方程为,点在上.推导切面公
式.1]P211.
切平面方程为.
法定义域线方程为.
例3????????P162例3.?
§4条件极值
一.???条件极值问题:先提出下例:
例要设计一个容积为的长方体形开口水箱.确定长、宽和高,使水箱的表面积最小.分别以、和表示水箱的长、宽和高,该例可表述为:在约束条件之下求函数的最小值.
条件极值问题的一般陈述.
二.条件极值点的必要条件:
设在约束条件之下求函数的极值.当满足约束条件
的点是函数的条件极值点,且在该点函数满足隐函数
存在条件时,由方程决定隐函数,于是点就是一元函数的极限点,有.
代入,就有,
(以下、、、均表示相应偏导数在点的值.)
即—,亦即(,),).
可见向量(,)与向量,)正交.注意到向量,)也与向量,)正交,即得向量(,)与向量,)线性相关,即存在实数,使(,)+,).
亦即
二.???Lagrange乘数法:
由上述讨论可见,函数在约束条件之下的条件极值点应是方程组
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