2025届高考数学精准突破复习初等函数与函数零点.docx

2025届高考数学精准突破复习

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初等函数与函数零点

eq\o\ac(○,热)eq\o\ac(○,点)eq\o\ac(○,考)eq\o\ac(○,点)eq\o\ac(○,解)eq\o\ac(○,读)

常识必背

常识必背

1．幂函数

(1)定义

形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，y＝x－1.

(2)性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．

2．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；

③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

(2)二次函数的图象和性质

解析式

f(x)＝ax2＋bx

＋c(a0)

f(x)＝ax2＋bx

＋c(a0)

图象

定义域

(－∞，＋∞)

(－∞，＋∞)

值域

eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))

单调性

在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；

在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增

在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；

在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减

奇偶性

当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数

顶点

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))

对称性

图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)成轴对称图形

3．根式

(1)根式的概念

①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

xn＝a?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)，当n为奇数且n∈N*，n1时，,x＝±\r(n,a)，当n为偶数且n∈N*时.))

(2)根式的性质

①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n1)．

②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0，))n为偶数.))

4．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正分数指数幂：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)；

②负分数指数幂：a－eq\s\up6(\f(m,n))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，且n1)；

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．

(2)有理数指数幂的运算性质

①aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；

②eq\f(ar,as)＝ar－s(a0，r，s∈Q)；

③(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；

④(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．

5．指数函数的图象与性质

y＝ax

(a0且

a≠1)

a1

0a1

图象

定义域

R

值域

(0，＋∞)

性质

过定点(0，1)

当x0时，y1；

当x0时，0y1

当x0时，0y1；

当x0时，y1

在R上是增函数

在R上是减函数

6．对数

概念

如果ax＝N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式

性质

对数式与指数式的互化：ax＝N?x＝logaN(a0，且a≠1)

loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a0且a≠1)

运算

法则

loga(M·N)＝logaM＋logaN

a0，且a≠1，M0，N0

logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN

logaMn＝nlogaM(n∈R)

换底

公式

logab＝eq\f(logcb,logca)(a0，且a≠1，c0，且c≠1，b0)

7.对数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

性质

定义域：(0，＋∞)