2025届高考数学精准突破复习导数及其应用.docx

2025届高考数学精准突破复习

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导数及其应用

eq\o\ac(○,热)eq\o\ac(○,点)eq\o\ac(○,考)eq\o\ac(○,点)eq\o\ac(○,解)eq\o\ac(○,读)

常识必背

常识必背

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．

(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(3)函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．

2．基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f(x)＝c(c为常数)

f′(x)＝0

f(x)＝xn(n∈Q*)

f′(x)＝nxn－1

f(x)＝sinx

f′(x)＝cos__x

f(x)＝cosx

f′(x)＝－sin__x

f(x)＝ax

(a0且a≠1)

f′(x)＝axln__a

f(x)＝ex

f′(x)＝ex

f(x)＝logax

(x0，a0且a≠1)

f′(x)＝eq\f(1,xlna)

f(x)＝lnx

(x0)

f′(x)＝eq\f(1,x)

3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．

函数的单调性与导数的关系

条件

结论

函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导

f′(x)＞0

f(x)在(a，b)内单调递增

f′(x)0

f(x)在(a，b)内单调递减

f′(x)＝0

f(x)在(a，b)内是常数函数

1．函数的极值与导数

条件

f′(x0)＝0

x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0

x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0

图象

极值

f(x0)为极大值

f(x0)为极小值

极值点

x0为极大值点

x0为极小值点

易错易混

易错易混

1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.

2．求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axlna相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现以下错误：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）,[g（x）]2)，(cosx)′＝sinx.

3．求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．

4．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行．

5．由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)0(0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验．

6．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．

7．求最值时，应注意极值点与所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可直接认为极值就是最值．

8．极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值．

方法必知

方法必知

1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．

3．函数y＝f