专题五 一元函数的导数及其应用（考点题型归纳）-2021-2022学年高二数学上学期《考点•题型•难点》期末高效复习（人教A版2019选择性必修第一、二册）.docVIP

专题五：一元函数的导数及其应用-高二上学期数学《考点·题型·难点》期末高效复习

高频考点梳理

考点一．导数与导函数

(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).

(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.

考点二．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．

考点三：基本初等函数的导数公式

基本初等函数

导函数

f(x)＝c(c为常数)

f′(x)＝0

f(x)＝xα(α∈Q*)

f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sinx

f′(x)＝cosx

f(x)＝cosx

f′(x)＝－sinx

f(x)＝ex

f′(x)＝ex

f(x)＝ax(a0，a≠1)

f′(x)＝axlna

f(x)＝lnx

f′(x)＝eq\f(1,x)

f(x)＝logax(a0，a≠1)

f′(x)＝eq\f(1,xlna)

考点四：导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[eq\f(f?x?,g?x?)]′＝eq\f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0)．

考点五:复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

考点六：导数的应用

1．函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

2．函数的极值

(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：

①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤：

①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

3．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

考点七：求不等式恒成立问题的方法

（1）分离参数法

若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.

（2）数形结合法

结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.

（3）主参换位法

把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.

高频题型归纳

题型一：导数的概念和几何意义问题

1．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高二期末（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）

A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

2．（2021·吉林·吉化第一高级中学校高二期末（理））若f′(x0)＝－3，则等于()

A．－3 B．－6

C．－9 D．－12

3．（2