第8讲 应用一元二次方程（教师版）-2023年九年级数学上册同步讲义（北师大版）.docx

第8讲应用一元二次方程

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课程标准

1.能根据具体问题的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理；

2.认识方法模型的重要性，掌握运用方程解决实际问题的一般步骤，提高分析问题、解决问题的能力。

知识精讲

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知识点01列一元二次方程解应用题的一般步骤

1．利用方程解决实际问题的关键

寻找等量关系

2．解决应用题的一般步骤

（1）审题：仔细阅读题目，分析题目，明确已知量与未知量。

（2）找等量关系：寻找已知量和未知量之间的关系，用运算符号和等号连接。

（3）设未知数：一类是直接设所求的量为x，另一类是间接设与所求的量紧密相关且起着关键性作用的量为x，注意设未知数要带单位。

（4）列方程：用含有未知数的代数式把等量关系中的各个量表示出来，列出方程。

（5）解方程：选择合适的方法解方程。

（6）检验：检验方程的根是否正确及是否符合题意，舍去不符合题意的根。

（7）写出答案，书写答案时注意不要遗漏单位。

注意：列方程解实际问题的三个重要环节

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性。

知识点02一元二次方程应用题的主要类型

1．数字问题

(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.

(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.

如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.

几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.

如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.

2．平均变化率问题

列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

(1)增长率问题：

平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)

(2)降低率问题：

平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)

3．利息问题

(1)概念

本金：顾客存入银行的钱叫本金.

利息：银行付给顾客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期数：存入银行的时间叫期数.

利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.

(2)公式

利息=本金×利率×期数

利息税=利息×税率

本金×(1+利率×期数)=本息和

本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)

4．利润(销售)问题

利润(销售)问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价(成本)

总利润=每件的利润×总件数

5．形积问题

此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.

注意：

列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.

能力拓展

能力拓展

考法01数字问题

【典例1】如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为()

A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225

C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=225

【答案】C

【解析】∵最大数为x，

∴最小数用x表示为：x-16，

∴列方程为：x(x﹣16)=225，

故选：C

【即学即练】日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律.小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数是（）

日

一

二

三

四

五

六

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

图1

图2

A．17 B．18 C．19 D．20

【答案】C

【解析】解：根据日历的特点，同一